15.1 : Definition der Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ist eine unverzichtbare mathematische Technik zur Vereinfachung der Lösung von Differentialgleichungen, indem sie in übersichtlichere algebraische Ausdrücke umgewandelt werden. Die Laplace-Transformation einer Funktion wird durch L[x(t)] bezeichnet, wobei x(t) die Zeitbereichsfunktion ist. Die Laplace-Transformation wird mathematisch ausgedrückt als

Hier ist S eine komplexe Variable, die aus einem Realteil (σ) und einem Imaginärteil (ω) besteht.

Es gibt zwei Haupttypen von Laplace-Transformationen: zweiseitige und einseitige. Die zweiseitige Laplace-Transformation ist gegeben durch:

Diese Transformation berücksichtigt Zeitfunktionen ungleich Null für negative Zeitintervalle und ist daher für kausale und nicht-kausale Signale geeignet. Im Gegensatz dazu geht die häufiger verwendete einseitige Laplace-Transformation davon aus, dass die Funktion bei negativer Zeit Null ist, und konzentriert sich ausschließlich auf Signale mit positiver Zeit.

Ein wichtiges Merkmal der Laplace-Transformation ist ihre Fähigkeit, eine Funktion aus dem Zeitbereich in den s-Bereich zu übertragen, was zu einem Laplace-Transformationspaar führt. Dieser Prozess vereinfacht nicht nur die Manipulation der Funktion, sondern ermöglicht auch eine einfachere Lösung komplexer Differentialgleichungen. Die inverse Laplace-Transformation wird verwendet, um die s-Bereichsfunktion in ihre ursprüngliche Zeitbereichsform zurückzusetzen und wird wie folgt dargestellt:

Wobei X(s) die s-Bereichsdarstellung von x(t) ist.

Die Anwendungen der Laplace-Transformation sind umfangreich und vielfältig. Sie wird häufig in der Signalanalyse eingesetzt, was zum Verständnis und zur Manipulation von Signalen im s-Bereich beiträgt. In der Regelungstechnik vereinfacht die Laplace-Transformation die Analyse und den Entwurf von Regelungssystemen, indem sie Differentialgleichungen, die die Systemdynamik beschreiben, in algebraische Gleichungen umwandelt. Diese Transformation ist entscheidend für die Bestimmung der Systemstabilität und den Entwurf geeigneter Regelungsstrategien. Die Laplace-Transformation hilft bei der Analyse und dem Entwurf von Filtern und Netzwerken in Kommunikationssystemen. Sie spielt auch eine wichtige Rolle bei der Systemanalyse und der Lösung von Differentialgleichungen und bietet Ingenieuren und Mathematikern eine Reihe solider Werkzeuge.