15.1 : Definizione di trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è una tecnica matematica indispensabile per semplificare la risoluzione delle equazioni differenziali convertendole in espressioni algebriche più gestibili. La trasformata di Laplace di una funzione è indicata da L[x(t)], dove x(t) è la funzione del dominio del tempo. La trasformata di Laplace è espressa matematicamente come:

In questo caso, S è una variabile complessa che comprende una parte reale (σ) e una immaginaria (ω).

Esistono due tipi principali di trasformate di Laplace: bilaterale e unilaterale. La trasformata bilaterale di Laplace è data da:

Questa trasformazione si adatta alle funzioni di tempo diverse da zero per intervalli di tempo negativi, rendendola adatta per i segnali causali e non causali. Al contrario, la trasformata di Laplace unilaterale usata più frequentemente presuppone che la funzione sia 0 per il tempo negativo, concentrandosi esclusivamente sui segnali di tempo positivo.

Una caratteristica critica della trasformata di Laplace è la sua capacità di tradurre una funzione dal dominio del tempo a quello s, risultando in una coppia di trasformate di Laplace. Questo processo non solo semplifica la manipolazione della funzione, ma consente anche una soluzione più diretta di equazioni differenziali complesse. La trasformata inversa di Laplace viene usata per riportare la funzione del dominio s alla sua forma originale del dominio del tempo ed è rappresentata da:

Dove X(s) è la rappresentazione del dominio s di x(t).

Le applicazioni della trasformata di Laplace sono vaste e varie. È ampiamente usata nell'analisi del segnale, che aiuta a comprendere e manipolare i segnali nel dominio s. Nell'ingegneria di controllo, la trasformata di Laplace semplifica l'analisi e la progettazione dei sistemi di controllo trasformando le equazioni differenziali che descrivono la dinamica del sistema in equazioni algebriche. Questa trasformazione è fondamentale per determinare la stabilità del sistema e per progettare le strategie di controllo appropriate. La trasformata di Laplace aiuta ad analizzare e progettare i filtri e le reti nei sistemi di comunicazione. Svolge inoltre un ruolo significativo nell'analisi del sistema e nella risoluzione delle equazioni differenziali, fornendo un solido set di strumenti utili agli ingegneri e ai matematici.