17.8 : خصائص تحويل فورييه المنفصل الثاني

في دراسة معالجة الإشارات في الزمن المنفصل، يُعدُّ فهم خصائص تحويل فورييه المنفصل (DTFT) أمرًا بالغ الأهمية لتحليل الإشارات ومعالجتها في مجال التردد. توفر العديد من الخصائص، بما في ذلك التفاضل الترددي، والالتفاف، والتراكم، وعلاقة بارسيفال، أدوات قوية لتحليل الإشارات.

يتم توضيح خاصية التفاضل الترددي من خلال النظر في زوج تحويل فورييه المنفصل وتمييز كلا الجانبين بالنسبة إلى 𝜔. بضربه في j (الوحدة التخيلية)، يتحول الجانب الأيمن إلى تحويل فورييه لـ 𝑛𝑥[𝑛]. رياضيًا، إذا كان 𝑋(𝑒^(𝑗𝜔)) هو تحويل فورييه متقطع لـ 𝑥[𝑛]، فإن 𝑗(𝑑/𝑑𝜔(𝑋(𝑒^(𝑗𝜔))) هو تحويل فورييه متقطع لـ 𝑛𝑥[𝑛]. هذه الخاصية مفيدة لإيجاد خصائص التردد المتعلقة بمنحدر طيف الإشارة.

عند تطبيق التفاف الوقت المنفصل على أزواج تحويل فورييه متقطع، نلاحظ خاصية مهمة أخرى. من خلال تغيير ترتيب الجمع على الجانب الأيمن وتطبيق خاصية تحويل الوقت، نصل إلى خاصية التفاف الوقت. تنص هذه الخاصية على أن التفاف إشارتين في مجال الوقت يتوافق مع ضرب تحويلات الوقت المنفصلة الخاصة بهما في مجال التردد. وعلى العكس من ذلك، يؤدي ضرب إشارتين في مجال الوقت إلى التفاف دوري لتحويلات الوقت المنفصلة الخاصة بهما في مجال التردد المجال، المقياس بواسطة معكوس الدورة.

تركز خاصية التراكم على جمع إشارة زمنية منفصلة على مدار الوقت. يرتبط تحويل فورييه الزمني المنفصل (DTFT) لهذه الإشارة المتراكمة بتحويل فورييه الزمني المنفصل للإشارة الأصلية ولكن يتم تعديله بواسطة عامل مقياس أسي. بالإضافة إلى ذلك، يوجد مصطلح يتضمن دالة دلتا، والتي تقدم مكونات دورية على فترات 2π في المجال الترددي. تسلط هذه الخاصية الضوء على كيفية تأثير التراكم في المجال الزمني على تمثيل التردد، مما يؤدي إلى ميزات دورية.

علاقة بارسيفال هي نتيجة رئيسية تربط طاقة الإشارة في المجال الزمني بتمثيلها في المجال الترددي. على وجه التحديد، الطاقة الكلية للإشارة x[n]، والتي هي مجموع الأحجام التربيعية في المجال الزمني، تساوي تكامل الأحجام التربيعية لتحويل فورييه الزمني المنفصل. هذه العلاقة أساسية في تحليل قوة الإشارة والطاقة في كلا المجالين.

تعمل هذه الخصائص مجتمعة على تعزيز القدرة على تحليل وتصميم وفهم أنظمة الوقت المنفصل، مما يجعلها لا غنى عنها في معالجة الإشارات الرقمية.