17.8 : Właściwości DTFT II

W badaniu przetwarzania sygnałów w czasie dyskretnym zrozumienie właściwości dyskretnej transformaty Fouriera (DTFT) jest kluczowe dla analizy i manipulowania sygnałami w dziedzinie częstotliwości. Kilka jej właściwości, w tym różniczkowanie częstotliwości, splot, akumulacja i relacja Parsevala, oferuje różne narzędzia do analizy sygnałów.

Właściwość różniczkowania może zostać zaprezentowana przez rozważenie pary DTFT i różniczkowanie obu stron względem ω. Mnożąc przez j (jednostkę urojoną), prawa strona przekształca się w transformatę Fouriera nx[n]. Matematycznie, jeśli X(e^jω) jest DTFT x[n], to j(d/dω(X(e^jω)) jest DTFT nx[n]. Ta właściwość jest przydatna do znajdowania charakterystyk częstotliwościowych związanych z nachyleniem widma sygnału.

Podczas stosowania splotu dyskretnego w czasie dla par DTFT obserwujemy inną właściwość. Zmieniając kolejność sumowania po prawej stronie i stosując właściwość przesunięcia w czasie, dochodzimy do właściwości splotu w czasie. Właściwość ta pokazuje, że splot dwóch sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu ich DTFT w dziedzinie częstotliwości. Odwrotnie, mnożenie dwóch sygnałów w dziedzinie czasu prowadzi do okresowego splotu ich DTFT w dziedzinie częstotliwości, skalowane przez odwrotność okresu.

Właściwość akumulacji koncentruje się na sumowaniu dyskretnego sygnału w czasie. Dyskretna transformata Fouriera (DTFT) tego skumulowanego sygnału jest powiązana z DTFT oryginalnego sygnału, ale jest modyfikowana przez wykładniczy współczynnik skalowania. Ponadto istnieje termin, który obejmuje funkcję delta, która wprowadza okresowe składowe w odstępach 2π w dziedzinie częstotliwości. Ta właściwość podkreśla, w jaki sposób akumulacja w dziedzinie czasu wpływa na reprezentację częstotliwości, prowadząc do cech okresowych.

Relacja Parsevala łączy energię sygnału w dziedzinie czasu z jego reprezentacją w dziedzinie częstotliwości. Konkretnie, całkowita energia sygnału x[n], która jest sumą kwadratów wielkości w dziedzinie czasu, jest równa całce kwadratów wielkości jego DTFT. Ta relacja jest fundamentalna w analizie mocy i energii sygnału w obu domenach.

Właściwości te zwiększają możliwość analizowania, projektowania i rozumienia systemów dyskretnych, co sprawia, że są one niezastąpione w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów.