17.8 : שיעור: תכונות התמרת פורייה בזמן בדיד (II (DTFT

בניתוח אותות בזמן בדיד, הבנה של תכונות התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT) היא חיונית לניתוח ולתמרון אותות במישור התדר. תכונות שונות, כולל גזירה בתדר, קונבולוציה, הצטברות, ושוויון פרסבל, מספקות כלים רבי עוצמה לניתוח אותות.

תכונת הגזירה בתדר מתוארת באמצעות התבוננות בזוג DTFT וגזירה של שני האגפים ביחס ל-ω. הכפלה ב-j (היחידה המדומה) משנה את האגף הימני להתמרת פורייה של nx[n]. באופן מתמטי, אם (e^jw)X הוא ה-DTFT של [x[n, אז ((j(d/dω(X(e^jw הוא ה-DTFT של [nx[n. תכונה זו שימושית למציאת מאפייני התדר הקשורים לשיפוע הספקטרום של ה אות.

כאשר מיישמים קונבולוציה בזמן בדיד על זוגות DTFT, ניתן לזהות תכונה חשובה נוספת. על ידי שינוי סדר הסכימה באגף הימני ויישום תכונת הסטת הזמן, מתקבלת תכונת הקונבולוציה בזמן. תכונה זו קובעת כי קונבולוציה של שני אותות במישור הזמן תואמת להכפלה של ה-DTFT שלהם במישור התדר. מצד שני, הכפלת שני אותות במישור הזמן מובילה לקונבולוציה מחזורית של ה-DTFT שלהם במישור התדר, מוכפלת על ידי ההופכי של המחזור.

תכונת ההצטברות מתמקדת בסכימת אות בזמן בדיד לאורך הזמן. התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT) של אות מצטבר זה קשורה ל-DTFT של האות המקורי אך מותאמת על ידי גורם שינוי מעריכי. בנוסף, ישנו איבר הכולל פונקציית דלתא, שמכניס רכיבים מחזוריים במרווחים של 2π במישור התדר. תכונה זו מדגישה כיצד צבירה במישור הזמן משפיעה על ייצוג התדר, ומביאה לתכונות מחזוריות.

הקשר של פרסבל (Parseval’s Relation) הוא תוצאה מרכזית המקשרת בין האנרגיה של אות במישור הזמן לייצוג שלו במישור התדר. באופן ספציפי, האנרגיה הכוללת של האות [x[n, שהיא סכום הערכים המוחלטים בריבוע במישור הזמן, שווה לאינטגרל של הערכים המוחלטים בריבוע של ה-DTFT שלו. קשר זה הוא בסיסי בניתוח של הספק ואנרגיה של אותות בשני המישורים.

תכונות אלו יחד משפרות את היכולת לנתח, לתכנן ולהבין מערכות בזמן בדיד, והופכות אותן לכלי שאין לו תחליף בעיבוד אותות דיגיטליים.