17.8 : Propriétés de la transformée de Fourier à temps discret II

Dans l’étude du traitement du signal à temps discret, la compréhension des propriétés de la transformée de Fourier à temps discret (TFtd) est cruciale pour l’analyse et la manipulation des signaux dans le domaine fréquentiel. Plusieurs propriétés, notamment la différenciation de fréquence, la convolution, l’accumulation et la relation de Parseval, offrent des outils puissants pour l’analyse du signal.

La propriété de différenciation de fréquence est illustrée en considérant une paire TFtd et en différenciant les deux côtés par rapport à ω. En multipliant par j (l’unité imaginaire), le côté droit devient la transformée de Fourier de nx[n]. Mathématiquement, si X(e^(jω)) est la TFtd de x[n], alors j(d/dω(X(e^(jω)))) est la TFtd de nx[n]. Cette propriété est utile pour trouver les caractéristiques de fréquence liées à la pente du spectre du signal.

En appliquant la convolution à temps discret aux paires de TFtd, on observe une autre propriété importante. En changeant l'ordre de sommation du côté droit et en appliquant la propriété de décalage temporel, on arrive à la propriété de convolution temporelle. Celle-ci stipule que la convolution de deux signaux dans le domaine temporel correspond à la multiplication de leurs TFtd dans le domaine fréquentiel. Inversement, la multiplication de deux signaux dans le domaine temporel conduit à une convolution périodique de leurs TFtd dans le domaine fréquentiel, échelonnée par l'inverse de la période.

La propriété d'accumulation se concentre sur la sommation d'un signal à temps discret au fil du temps. La transformée de Fourier à temps discret (TFtd) de ce signal accumulé est liée à la TFtd du signal d'origine mais est modifiée par un facteur d'échelle exponentiel. De plus, il existe un terme qui inclut une fonction delta, qui introduit des composantes périodiques à des intervalles de 2π dans le domaine fréquentiel. Cette propriété met en évidence comment l'accumulation dans le domaine temporel affecte la représentation dans le domaine fréquentiel, ce qui conduit à des caractéristiques périodiques.

La relation de Parseval est un résultat clé qui relie l'énergie d'un signal dans le domaine temporel à sa représentation dans le domaine fréquentiel. Plus précisément, l'énergie totale du signal x[n], qui est la somme des carrés des amplitudes dans le domaine temporel, est égale à l'intégrale des carrés des amplitudes de sa TFtd. Cette relation est fondamentale pour analyser la puissance et l'énergie du signal dans les deux domaines.

Ces propriétés améliorent collectivement la capacité d'analyse, de conception et de compréhension des systèmes à temps discret, ce qui les rend indispensables dans le traitement du signal numérique.