23.8 : Mohrs Kreis für ebene Dehnung

Der Mohrsche Kreis ist eine wichtige grafische Methode zur Analyse der ebenen Dehnung durch Auftragen der Dehnung auf einem Satz kartesischer Koordinaten, wobei die Abszisse die Normaldehnung ε und die Ordinate die Scherdehnung γ ist. Ähnlich wie beim Mohrschen Kreis für ebene Spannung werden zwei Punkte X und Y eingezeichnet. Ihre Koordinaten sind (ε_x, -γ_XY) bzw. (ε_Y, γ_XY).  

Der Mohrsche Kreis stellt die Dehnungszustände unter verschiedenen Bedingungen visuell dar, was für das Verständnis des Materialverhaltens von wesentlicher Bedeutung ist. Der Mittelpunkt des Mohrschen Kreises mit der Bezeichnung O entspricht der durchschnittlichen Normaldehnung, wobei der Kreisradius aus der Beziehung zwischen Normal- und Scherdehnung abgeleitet wird. Dadurch lässt sich visualisieren, wie sich Dehnungen unter verschiedenen Belastungsbedingungen verändern, indem die Drehungen und Verschiebungen im Kreis dargestellt werden, wenn sich die Koordinatenachsen drehen.

Besonders bedeutsam sind die Punkte, an denen der Mohrsche Kreis die horizontale Achse schneidet und die maximalen und minimalen Hauptdehnungen darstellen. Diese Hauptdehnungen werden aus der durchschnittlichen Dehnung plus bzw. minus dem Kreisradius berechnet und geben die Dehnungsgrenzen an, die ein Material unter einer bestimmten Belastung aushalten kann. In homogenen, isotropen Materialien, die einer elastischen Verformung unterliegen, richten sich die Hauptdehnungsachsen nach den Spannungsachsen aus, eine Korrelation, die durch das Hookesche Gesetz für Scherspannung und -dehnung festgelegt wird. Diese Ausrichtung hilft bei der Vorhersage materieller Reaktionen unter Stress.

Darüber hinaus stellt der Durchmesser des Mohrschen Kreises die maximale Scherbeanspruchung in der Ebene dar. Bei der Analyse mit gedrehten Koordinatenachsen werden durch Drehen des Durchmessers XY des Mohrschen Kreises um einen Winkel 2θ effektiv die Dehnungskomponenten in dieser Ausrichtung für um den Winkel θ gedrehte Koordinatenachsen bestimmt.