25.2 : Équation de la courbe élastique

Le concept de courbure dans les courbes planes est déterminant en ingénierie des structures, il définit l'ampleur de la flexion d'une poutre sous charge. Cette courbure est déterminée à l'aide des dérivées première et seconde de la courbe.

Considérons une poutre en porte-à-faux avec une charge ponctuelle à son extrémité libre (par exemple, un plongeoir). Lors de l'analyse de la déflexion d'une poutre avec de petites pentes, la forme de la courbe élastique de la poutre devient essentielle. L'équation déterminante pour cette analyse implique le moment de flexion et la rigidité à la flexion de la poutre, qui est un produit du module d'élasticité et du moment d'inertie de la section transversale de la poutre.

Pour les poutres prismatiques, où la section transversale reste constante, l'analyse est simplifiée, rendant la rigidité en flexion constante sur toute la longueur de la poutre. L'intégration de l'équation directrice permet de calculer l'angle formé par la tangente à la courbe en tout point, ce qui, après une intégration plus poussée, donne la déviation de la poutre en ce point.

Les conditions aux limites au niveau des supports de poutre sont essentielles pour réaliser ces calculs. Les poutres supportées, en console et en porte-à-faux sont des types courants de poutres, chacune avec des conditions aux limites distinctes. Par exemple, la déflexion et la pente au point d'appui d'une poutre en porte-à-faux sont nulles, ce qui est essentiel pour calculer les constantes des équations de déflexion.

Prédire avec précision la déflexion des poutres est crucial pour garantir la sécurité et la fonctionnalité des structures. Une déflexion excessive peut provoquer des défaillances structurelles ou des problèmes de maintenance, ce qui souligne l'importance de comprendre le comportement des poutres sous charge.