18.3 : Reconstruction d'un signal par interpolation

Les techniques de traitement du signal sont essentielles pour convertir avec précision les signaux continus en formats numériques et vice versa. Lorsqu'un signal continu est échantillonné avec une période T, le signal échantillonné résultant présente des répliques du spectre d'origine dans le domaine fréquentiel, espacées d'intervalles égaux à la fréquence d'échantillonnage. Pour traiter ce signal échantillonné, une méthode de maintien d'ordre zéro peut être appliquée, qui crée un signal constant par morceaux en conservant la valeur de chaque échantillon jusqu'à la période d'échantillonnage suivante.

Dans le domaine fréquentiel, le maintien d'ordre zéro modifie le signal en introduisant une fonction sinc en raison de sa transformée de Fourier. Cette fonction sinc module l'amplitude des répliques spectrales, en les atténuant. Malgré cette modulation, le signal échantillonné nécessite toujours un traitement supplémentaire pour lisser la forme d'onde résultante.

La convolution du signal échantillonné avec une réponse impulsionnelle triangulaire affine encore le signal. Cette opération de convolution produit un signal dans le domaine temporel plus lisse et exempt de pics abrupts. Dans le domaine fréquentiel, ce processus lisse la partie centrale de la courbe et comprime les répliques latérales plus efficacement que le maintien d'ordre zéro seul, réduisant ainsi les composantes spectrales indésirables.

Pour une reconstruction optimale du signal, un filtre passe-bas idéal est utilisé. Ce filtre supprime toutes les répliques spectrales, ne laissant passer que le spectre d'origine. La réponse impulsionnelle dans le domaine temporel du filtre idéal est caractérisée par une fonction sinc, qui, lorsqu'elle est associée au signal échantillonné, produit un signal lisse et continue dans le domaine temporel régulier.

Cette méthode, connue sous le nom d'interpolation à bande limitée, garantit que le signal reconstruit se rapproche étroitement du signal continu d'origine. En filtrant soigneusement le signal échantillonné et en utilisant les propriétés de la fonction sinc, l'interpolation à bande limitée minimise la distorsion et les artefacts, permettant ainsi une reconstruction précise du signal. Ce processus est essentiel dans des applications telles que l'audio numérique et les systèmes de communication, où le maintien de l'intégrité du signal pendant la conversion numérique-analogique est essentiel pour préserver la qualité et la fidélité du signal d'origine.