21.2 : מערכות חשמליות

בהנדסת חשמל, ניתוח רשתות המורכבות מרכיבים פסיביים ליניאריים — נגדים (R), קבלים (C) וסלילים (L) — הוא מהותי. רכיבים אלו מאורגנים במעגלים שבהם ניתן לנתח את היחס בין הקלט לפלט באמצעות פונקציות תמסורת. ניתן לגזור את פונקציית התמסורת של מעגל RLC, המתארת את המתח על הקבל ביחס למתח הקלט, תוך שימוש בחוקי קירכהוף.

כדי לגזור את פונקציית התמסורת, נבחן מעגל RLC שבו הרכיבים מחוברים בטור. חוק המתח של קירכהוף (KVL) קובע שסכום כל המתחים סביב לולאה סגורה שווה לאפס. עבור מעגל RLC, הדבר מתורגם למשוואה האינטגרו-דיפרנציאלית, בהנחת שהתנאים ההתחלתיים שווים לאפס:

כאן, (V(t הוא מתח הקלט, (Vr(t)=i(tR הוא המתח על הנגד, q(t)/C = VC(t הוא המתח על הקבל, כאשר (q(t הוא המטען על הקבל, ו-VL(t) =(di(t)/dt) L הוא המתח על הסליל.

הזרם (t)=dq(t)/dt. קשור למטען (q(t באמצעות. על ידי הצבת יחסים אלו במשוואת KVL מתקבלת המשוואה הבאה:

כתיבת המשוואה כמשוואת מתח, וביצוע התמרת לפלס לשני הצדדים, ובהנחה שהתנאים ההתחלתיים שווים לאפס, מתקבלת המשוואה הבאה:

על ידי סידור מחדש של האיברים כדי לפתור את פונקציית התמסורת:

פונקציית תמסורת זו מייצגת את המתח על הקבל בתגובה למתח הקלט במישור התדר. העכבה (impedance), המקבילה להתנגדות אך חלה על קבלים וסלילים, משחקת תפקיד מרכזי בהגדרת פונקציית התמסורת. בנוסף, ניתן גם להשתמש בחוק הזרם של קירכהוף (KCL) כדי לגזור פונקציות תמסורת באמצעות ניתוח בצמתים. חוק זה קובע שסכום הזרמים הנכנסים לצומת חייב להיות שווה לסכום הזרמים היוצאים מהצומת. במעגל RLC, הזרם הכולל הוא סכום הזרם דרך הקבל ודרך השילוב בטור של הנגד והסליל. על ידי יישום KCL ופישוט המשוואות, ניתן להגיע לאותה פונקציית תמסורת.

חוקי KVL ו-KCL הם כלים רבי עוצמה בניתוח מעגלים, והם מאפשרים לגזור פונקציות תמסורת שמתארות באופן תמציתי את ההתנהגות הדינמית של רשתות חשמליות במישור התדר. שיטות אלו חיוניות לתכנון וניתוח של מעגלים מורכבים ביישומים שונים.