21.2 : Электрические системы

В электротехнике анализ сетей, состоящих из пассивных линейных компонентов — резисторов (R), конденсаторов (C) и катушек индуктивности (L), — является фундаментальным. Эти компоненты организованы в схемы, где связь между входом и выходом можно проанализировать с помощью передаточных функций. Передаточная функция RLC-цепи, которая связывает напряжение на конденсаторе с входным напряжением, может быть получена с помощью законов Кирхгофа.

Чтобы вывести передаточную функцию, рассмотрим RLC-цепь с компонентами, соединенными последовательно. Закон напряжения Кирхгофа (KVL) гласит, что сумма всех напряжений вокруг замкнутого контура равна нулю. Для RLC-цепи это преобразуется в следующее интегрально-дифференциальное уравнение, предполагающее нулевые начальные условия:

Здесь V(t) — входное напряжение, VR(t)=i(t)R — напряжение на резисторе, VC(t) =q(t)/C — напряжение на конденсаторе, где q(t) — заряд на конденсаторе, а VL(t) = L(di(t)/dt) — напряжение на катушке индуктивности.

Ток i(t) связан с зарядом q(t) соотношением i(t)=dq(t)/dt. Подставляя эти соотношения в уравнение KVL, получаем:

Записывая уравнение в форме напряжения и применяя преобразование Лапласа к обеим частям, и предполагая, что все начальные условия равны нулю, получаем следующее уравнение:

Перестановка членов для решения передаточной функции даёт:

Эта передаточная функция представляет напряжение на конденсаторе в ответ на входное напряжение в частотной области. Импеданс, аналогичный сопротивлению, но применимый к конденсаторам и катушкам индуктивности, играет ключевую роль в определении передаточной функции. Кроме того, закон тока Кирхгофа (KCL) также можно использовать для вывода передаточных функций с помощью узлового анализа. Этот закон гласит, что сумма токов, входящих в узел, должна быть равна сумме токов, выходящих из узла. В цепи RLC общий ток представляет собой сумму тока через конденсатор и тока через последовательное соединение резистора и индуктивности. Применяя KCL и упрощая, можно получить ту же передаточную функцию.

KVL и KCL являются мощными инструментами в анализе цепей, позволяющими выводить передаточные функции, которые кратко описывают динамическое поведение электрических сетей в частотной области. Эти методы необходимы для проектирования и анализа сложных цепей в различных приложениях.