21.2 : Sistemi elettrici

In ingegneria elettrica, l'analisi di reti formate da componenti lineari passivi, ovvero i resistori (R), i condensatori (C) e gli induttori (L), è fondamentale. Questi componenti sono organizzati in circuiti in cui la relazione tra ingresso e uscita può essere analizzata usando le funzioni di trasferimento. La funzione di trasferimento di un circuito RLC, che mette in relazione la tensione attraverso un condensatore con la tensione di ingresso, può essere derivata grazie alle leggi di Kirchhoff.

Per derivare la funzione di trasferimento, consideriamo un circuito RLC con i componenti collegati in serie. La legge di Kirchhoff sulla tensione (KVL) afferma che la somma di tutte le tensioni attorno ad un circuito chiuso è 0. Per un circuito RLC, presupponendo condizioni iniziali pari a zero, questo si traduce nella seguente equazione integro-differenziale:

In questo caso, V(t) è la tensione di ingresso, VR(t)=i(t)R è la tensione attraverso il resistore, VC(t) = q(t)/C è la tensione attraverso il condensatore, dove q(t) è la carica sul condensatore e VL(t) = L(di(t)/dt) è la tensione attraverso l'induttore.

La corrente i(t) è correlata alla carica q(t) da i(t)=dq(t)/dt. Sostituendo queste relazioni nell'equazione KVL si ottiene:

Scrivendo l'equazione in forma di tensione, prendendo la trasformata di Laplace di entrambi i lati e supponendo che tutte le condizioni iniziali siano uguali a 0, si ottiene la seguente equazione:

Riorganizzando i termini per risolvere la funzione di trasferimento:

Questa funzione di trasferimento rappresenta la tensione attraverso il condensatore in risposta alla tensione di ingresso nel dominio della frequenza. L'impedenza, analoga alla resistenza ma applicabile ai condensatori e agli induttori, svolge un ruolo chiave nella definizione della funzione di trasferimento. Inoltre, la legge di Kirchhoff sulle correnti (KCL) può anche essere usata per derivare le funzioni di trasferimento tramite un’analisi nodale. Questa legge afferma che la somma delle correnti che entrano in un nodo dev’essere uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo. Nel circuito RLC, la corrente totale è la somma della corrente attraverso il condensatore e della corrente attraverso la combinazione in serie di un resistore e di un induttore. Applicando KCL e semplificando, si può ottenere la stessa funzione di trasferimento.

KVL e KCL sono degli strumenti potenti nell'analisi dei circuiti, consentono la derivazione di funzioni di trasferimento che descrivono in modo succinto il comportamento dinamico delle reti elettriche nel dominio della frequenza. Questi metodi sono essenziali per la progettazione e l'analisi di circuiti complessi in varie applicazioni.