21.2 : Sistemas elétricos

Na engenharia elétrica, a análise de redes compostas de componentes lineares passivos — resistores (R), capacitores (C) e indutores (L) — é fundamental. Esses componentes são organizados em circuitos onde a relação entre entrada e saída pode ser analisada usando funções de transferência. A função de transferência de um circuito RLC, que relaciona a tensão através de um capacitor à tensão de entrada, pode ser derivada usando as leis de Kirchhoff.

Para derivar a função de transferência, considere um circuito RLC com os componentes conectados em série. A Lei de Tensão de Kirchhoff (KVL) afirma que a soma de todas as tensões em torno de um circuito fechado é zero. Para um circuito RLC, isso se traduz na seguinte equação integro-diferencial, assumindo condições iniciais zero:

Aqui, V(t) é a tensão de entrada, VR(t)=i(t)R é a tensão no resistor, VC(t) =q(t)/C é a tensão no capacitor, onde q(t) é a carga no capacitor e VL(t) = L(di(t)/dt) é a tensão no indutor.

A corrente i(t) está relacionada à carga q(t) por i(t)=dq(t)/dt. Substituindo essas relações na equação KVL, temos:

Escrevendo a equação na forma de tensão, e tomando a transformada de Laplace de ambos os lados, e assumindo que todas as condições iniciais são zero, a seguinte equação é obtida:

Reorganizando os termos para resolver a função de transferência:

Esta função de transferência representa a tensão através do capacitor em resposta à tensão de entrada no domínio da frequência. A impedância, análoga à resistência, mas aplicável a capacitores e indutores, desempenha um papel fundamental na definição da função de transferência. Além disso, a Lei de Corrente de Kirchhoff (KCL) também pode ser usada para derivar funções de transferência por meio de análise nodal. Esta lei afirma que a soma das correntes que entram em um nó deve ser igual à soma das correntes que saem do nó. No circuito RLC, a corrente total é a soma da corrente através do capacitor e da corrente através da combinação em série do resistor e indutor. Aplicando KCL e simplificando, pode-se obter a mesma função de transferência.

KVL e KCL são ferramentas poderosas em análise de circuitos, permitindo a derivação de funções de transferência que descrevem sucintamente o comportamento dinâmico de redes elétricas no domínio da frequência. Esses métodos são essenciais para o projeto e análise de circuitos complexos em várias aplicações.