23.3 : Sistemi di secondo ordine I

Un servosistema esemplifica un sistema di secondo ordine, caratterizzato da un controller proporzionale e da elementi di carico che assicurano che la posizione di uscita si allinei con quella d’ingresso. La relazione tra questi componenti è descritta da un'equazione differenziale di secondo ordine. L'applicazione della trasformata di Laplace in condizioni iniziali pari a zero produce la funzione di trasferimento, che mostra come gli ingressi vengono convertiti in uscite nel sistema.

Reinterpretando il sistema, si può ricavare la funzione di trasferimento a ciclo chiuso, che caratterizza i sistemi di secondo ordine come quelli con due poli. Questa funzione di trasferimento a ciclo chiuso può essere riorganizzata per evidenziare dei parametri essenziali: la frequenza naturale non smorzata e il rapporto di smorzamento.

Il rapporto di smorzamento (ζ) è un parametro critico definito come il rapporto tra lo smorzamento effettivo e lo smorzamento critico. Fornisce informazioni sul comportamento e sulla stabilità del sistema. Con questi parametri identificati, la funzione di trasferimento a ciclo chiuso viene spesso riscritta in una forma standard per rappresentare in modo completo il sistema di secondo ordine:

In questo caso, ω_n denota la frequenza naturale non smorzata e ζ rappresenta il rapporto di smorzamento. Il rapporto di smorzamento categorizza la risposta del sistema:

Sottosmorzato (0 < ζ < 1): il sistema mostra un comportamento oscillatorio con ampiezza in graduale diminuzione, indicando oscillazioni attorno al punto di equilibrio prima di stabilizzarsi.

Smorzamento critico (ζ = 1): il sistema torna in equilibrio il più rapidamente possibile senza oscillare, questa è una caratteristica spesso desiderata nei sistemi servo per un posizionamento rapido e fluido.

Sovrasmorzato (ζ > 1): il sistema ritorna all'equilibrio senza oscillazioni, ma più lentamente rispetto a un sistema criticamente smorzato, determinando un tempo di risposta più lento, che potrebbe essere meno desiderabile nelle applicazioni che richiedono delle rapide regolazioni.

La comprensione di questi parametri e della loro influenza sulla risposta del sistema è fondamentale per progettare e mettere a punto i servosistemi in modo che soddisfino specifici criteri di prestazioni. L'analisi dei sistemi di secondo ordine attraverso le loro funzioni di trasferimento e le loro caratteristiche di smorzamento consente agli ingegneri di prevedere e ottimizzare il comportamento del sistema in varie condizioni operative.