27.8 : Twierdzenie Castigliano: rozwiązywanie problemów

Ugięcie swobodnie podpartej belki przenoszącej centralne obciążenie punktowe można analizować, stosując zasady mechaniki konstrukcji, w szczególności stosując twierdzenie Castigliano. Twierdzenie to wiąże przemieszczenie w punkcie przyłożenia obciążenia z pochodnymi cząstkowymi energii odkształcenia w konstrukcji. Belka swobodnie podparta z obciążeniem punktowym w środku ma symetryczne siły reakcji na podporach, z których każda przenosi połowę obciążenia. Z tych reakcji oblicza się moment zginający w dowolnym punkcie belki, obliczany na podstawie odległości od najbliższej podpory.

Twierdzenie Castigliano wskazuje, że ugięcie w miejscu przyłożenia obciążenia wyznacza się poprzez różniczkowanie energii odkształcenia belki w odniesieniu do obciążenia. Energię odkształcenia oblicza się na podstawie momentu zginającego wzdłuż belki, zintegrowanego po jej długości. W przypadku tej belki energię odkształcenia spowodowaną zginaniem oblicza się z kwadratu wyrażenia momentu zginającego, całkowanego wzdłuż połowy długości belki.

Ponieważ belka jest symetryczna, wartość tę podwaja się, aby uwzględnić całą belkę i obliczane jest ugięcie w środku belki. Zależy ona od wielkości obciążenia, sześcianu długości belki i jest odwrotnie proporcjonalna do iloczynu momentu bezwładności i modułu sprężystości przekroju belki.