16.2 : Postać wykładnicza szereg Fouriera

W przetwarzaniu sygnałów audio wykładnicza postać szeregu Fouriera odgrywa kluczową rolę w syntezie dźwięku, umożliwiając rozbicie złożonych dźwięków na prostsze składowe sinusoidalne. Ten proces rozkładu jest fundamentalny w analizie i rekonstrukcji nut muzycznych i innych sygnałów audio. Ta postać szeregu Fouriera wyraża sygnały okresowe jako sumę złożonych wykładników przy dodatnich i ujemnych częstotliwościach harmonicznych, zapewniając potężne narzędzie do analizy sygnału.

Wzór Eulera jest w tym kontekście niezbędny. Przekształca on wyrazy wykładnicze w ich równoważne składowe cosinusa i sinusa.

Podstawiając te składowe z powrotem do szeregu Fouriera, możemy uzyskać bardziej szczegółową reprezentację oryginalnego sygnału. Ta transformacja umożliwia zwięzłe wyrażenie sygnału w postaci złożonych wykładników, upraszczając analizę i syntezę sygnałów okresowych.

Współczynniki szeregu Fouriera, C_n, są określane przez całkowanie funkcji w ciągu jednego okresu. Matematycznie współczynnik C_n jest podany przez:

Gdzie T jest okresem sygnału, ω_0 jest podstawową częstotliwością kątową, a n jest liczbą harmoniczną. Po obliczeniu tych współczynników i podstawieniu ich z powrotem do szeregu, funkcję można wyrazić jako:

To równanie zapewnia zwięzłą reprezentację oryginalnej funkcji okresowej w kategoriach jej składowych harmonicznych.

Istnieją trzy powiązane ze sobą formy szeregu Fouriera: forma sinus-cosinus, forma amplitudy-fazy i forma wykładnicza zespolona. Te formy oferują różne perspektywy i narzędzia do analizy i syntezy sygnałów. Forma sinus-cosinus wykorzystuje funkcje trygonometryczne, forma amplitudy-fazy podkreśla wielkość i fazę każdego składnika częstotliwości, a forma wykładnicza zespolona wykorzystuje moc liczb zespolonych w celu uzyskania bardziej zwartej reprezentacji.