16.2 : Série exponentielle de Fourier

Dans le traitement du signal audio, la série exponentielle de Fourier joue un rôle crucial dans la synthèse sonore, car elle permet de décomposer des sons complexes en composantes sinusoïdales plus simples. Ce processus de décomposition est fondamental pour l'analyse et la reconstruction de notes de musique et d'autres signaux audio. La série exponentielle de Fourier exprime les signaux périodiques sous la forme d’une somme d'exponentielles complexes aux fréquences harmoniques positives et négatives, ce qui constitue un outil puissant pour l'analyse du signal.

L'identité d'Euler joue un rôle essentiel dans ce contexte. Elle transforme les termes exponentiels en leurs composantes cosinus et sinus équivalentes.

En substituant ces composantes dans la série de Fourier, nous pouvons obtenir une représentation plus détaillée du signal d'origine. Cette transformation permet d'exprimer le signal de manière concise en termes d'exponentielles complexes, simplifiant ainsi l'analyse et la synthèse des signaux périodiques.

Les coefficients de la série de Fourier, C_n, sont déterminés en intégrant la fonction sur une période. Mathématiquement, le coefficient C_n est donné par :

Où T est la période du signal, ω_0 est la fréquence angulaire fondamentale et n est le nombre harmonique. Une fois ces coefficients calculés et réinsérés dans la série, la fonction peut être exprimée comme suit :

Cette équation fournit une représentation succincte de la fonction périodique d'origine en termes de ses composantes harmoniques.

Il existe trois formes interconnectées de la série de Fourier : la forme sinus-cosinus, la forme amplitude-phase et la forme exponentielle complexe. Ces formes offrent des perspectives et des outils différents pour l’analyse et la synthèse des signaux. La forme sinus-cosinus utilise des fonctions trigonométriques, la forme amplitude-phase met en évidence l'amplitude et la phase de chaque composante de fréquence, et la forme exponentielle complexe exploite la puissance des nombres complexes pour une représentation plus compacte.