Nell'elaborazione del segnale audio, la serie di Fourier esponenziale svolge un ruolo cruciale nella sintesi del suono, consentendo di scomporre i suoni complessi in componenti sinusoidali più semplici. Questo processo di scomposizione è fondamentale per analizzare e ricostruire note musicali e altri segnali audio. La serie di Fourier esponenziale esprime segnali periodici come la somma di esponenziali complessi a frequenze armoniche sia positive che negative, fornendo un potente strumento per l'analisi del segnale.

L'identità di Eulero è fondamentale in questo contesto. Trasforma i termini esponenziali nei loro componenti equivalenti coseno e seno.

Sostituendo questi componenti nella serie di Fourier, possiamo ottenere una rappresentazione più dettagliata del segnale originale. Questa trasformazione consente di esprimere il segnale in modo conciso in termini di esponenziali complessi, semplificando l'analisi e la sintesi di segnali periodici.

I coefficienti della serie di Fourier, C_n, sono determinati integrando la funzione su un periodo. Matematicamente, il coefficiente C_n è dato da:

Dove T è il periodo del segnale, ω_0 è la frequenza angolare fondamentale e n è il numero armonico. Una volta calcolati questi coefficienti e sostituiti nella serie, la funzione può essere espressa come:

Questa equazione fornisce una rappresentazione succinta della funzione periodica originale in termini delle sue componenti armoniche.

Esistono tre forme interconnesse della serie di Fourier: la forma seno-coseno, quella ampiezza-fase e la forma esponenziale complessa. Queste forme offrono diverse prospettive e strumenti per analizzare e sintetizzare i segnali. La forma seno-coseno usa delle funzioni trigonometriche, la forma ampiezza-fase evidenzia l'entità e la fase di ogni componente di frequenza e la forma esponenziale complessa sfrutta la potenza dei numeri complessi per una rappresentazione più compatta.