15.5 : Kutup ve Sistem Kararlılığı

Transfer fonksiyonu, iki polinomun oranını temsil eden temel bir kavramdır. Pay ve payda sistemin dinamiklerini kapsar. Bu transfer fonksiyonunun sıfırları ve kutupları, sistemin davranışını ve kararlılığını belirlemede kritik öneme sahiptir.

Basit kutuplar, payda polinomunun farklı kökleridir. Her basit kutup, sistemin karakteristik denkleminin ayrı bir çözümüne karşılık gelir ve genellikle sistemin yanıtında üstel bozunma terimleriyle sonuçlanır.

Paydada birden fazla kez görülen tekrarlanan kutuplar, daha karmaşık bir sistem davranışını gösterir. Bu kutuplar, salınımlı davranışı veya daha yavaş bozunma oranlarını gösterir ve zaman-domain yanıtında yer alan terimlere yol açar: t^n e^σt; burada n, kutbun çokluğu ve σ, kutbun gerçek kısmıdır.

Karmaşık kutupların hem gerçek hem de sanal kısımları sayesinde sistem yanıtında salınımlı bileşenler meydana gelir. Bu kutuplar genellikle σ±jω eşlenik çiftleri olarak görünür ve bu da sinüs ve kosinüs terimlerini içeren üstel bir bozunma yol açar. Bu e^σt(cos⁡(ωt)+jsin⁡(ωt)) ile formülize edilebilir.

Doğrusal ve zamanla değişmeyen(LTI) bir sistemin kararlılığı, s-domaindeki kutuplarının konumları tarafından belirlenir. Sınırlı giriş ve sınırlı çıkış(BIBO) kararlılığının sağlanması için tüm kutuplar sol yarım düzlemde(LHP) yer almalı ve her dürtü tepkisi zamanla azalan olmalıdır. LHP'deki tekrarlanan kutuplar, sistemin tepkisinin artan derecesi nedeniyle ancak daha kademeli bir azalma ile kararlılığa katkıda bulunabilir.

Tersine, sağ yarım düzlemdeki (RHP) kutuplar, sistemin tepkisinde üstel büyümeye neden olarak sınırlı girişler için bile sınırsız çıktı ile sonuçlandığından kararsızlığa yol açar.

Doğru rasyonel fonksiyonların pay derecesi, payda derecesine eşittir veya daha küçüktür ve sıkı doğru fonksiyonlara benzer kararlılık kurallarını takip eder. Pay derecesinin payda derecesini aştığı uygunsuz rasyonel fonksiyonlar, doğası gereği BIBO açısından kararlı değildir. Bunun nedeni, bu tür fonksiyonların çıktısının sınırlı giriş sinyalleri için sınırsız hale gelebilmesi ve sınırlılık ilkesini ihlal edebilmesidir.

Özetle, bir transfer fonksiyonunun kutupları (ister basit, ister tekrarlı, ister karmaşık olsun) sistemin tepkisini ve kararlılığını anlamada çok önemlidir. Bu kutupların s düzlemindeki konumu, sistemin kararlı bir davranış sergileyip sergilemediğini belirler. Doğru veya uygunsuz rasyonel fonksiyonlar ise kararlılığı derecelendirirler.