15.5 : Stabilità dei poli e del sistema

La funzione di trasferimento è un concetto fondamentale che rappresenta il rapporto di due polinomi. Il numeratore e il denominatore incapsulano la dinamica del sistema. Gli zeri e i poli di questa funzione di trasferimento sono fondamentali per determinare il comportamento e la stabilità del sistema.

I poli semplici sono radici univoche del polinomio denominatore. Ogni polo semplice corrisponde ad una soluzione distinta all'equazione caratteristica del sistema, che in genere determina dei termini di decadimento esponenziali nella risposta del sistema.

I poli ripetuti, che si verificano più di una volta nel denominatore, indicano un comportamento del sistema più complesso. Questi poli suggeriscono un comportamento oscillatorio o tassi di decadimento più lenti, portando a termini che coinvolgono t^n e^σt nella risposta nel dominio del tempo, dove n è la molteplicità del polo e σ è la parte reale del polo.

I poli complessi hanno sia parti reali che immaginarie, che determinano componenti oscillatorie nella risposta del sistema. Questi poli appaiono tipicamente in coppie coniugate, σ±jω, portando a risposte che coinvolgono i termini seno e coseno modulati da un decadimento esponenziale, e^σt(cos⁡(ωt)+jsin⁡(ωt)).

La stabilità di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) è determinata dalle posizioni dei suoi poli nel piano s. Per la stabilità Bounded Input, Bounded Output (BIBO), tutti i poli devono trovarsi nel semipiano sinistro (LHP), assicurando che ogni risposta impulsiva decadi nel tempo. I poli ripetuti nel LHP contribuiscono alla stabilità ma con un decadimento più graduale dovuto all'ordine aumentato della risposta del sistema.

Al contrario, i poli nel semipiano destro (RHP) portano all'instabilità, perché questi poli causano una crescita esponenziale nella risposta del sistema, con un conseguente output illimitato anche per input limitati.

Le funzioni razionali proprie hanno un grado del numeratore minore o uguale al grado del denominatore e seguono regole di stabilità simili alle funzioni strettamente proprie. Le funzioni razionali improprie, in cui il grado del numeratore supera il grado del denominatore, non sono BIBO intrinsecamente stabili. Questo perché tali funzioni implicano che l'output può diventare illimitato per i segnali di input limitati, violando il principio di limitatezza.

In sintesi, i poli di una funzione di trasferimento, che sia semplice, ripetuta o complessa, sono fondamentali per comprendere la risposta e la stabilità del sistema. La posizione di questi poli nel piano s determina se il sistema esibisce un comportamento stabile o se diventa instabile, con funzioni razionali proprie e improprie che forniscono ulteriori livelli di stabilità.