15.5 : Estabilidade de polos e sistemas

A função de transferência é um conceito fundamental que representa a razão de dois polinômios. O numerador e o denominador encapsulam a dinâmica do sistema. Os zeros e polos dessa função de transferência são críticos para determinar o comportamento e a estabilidade do sistema.

Polos simples são raízes únicas do polinômio denominador. Cada polo simples corresponde a uma solução distinta para a equação característica do sistema, resultando tipicamente em termos de decaimento exponencial na resposta do sistema.

Pólos repetidos, ocorrendo mais de uma vez no denominador, indicam um comportamento mais complexo do sistema. Esses pólos sugerem comportamento oscilatório ou taxas de decaimento mais lentas, levando a termos envolvendo t^n e^σt na resposta no domínio do tempo, onde n é a multiplicidade do polo e σ é a parte real do polo.

Polos complexos têm partes reais e imaginárias, resultando em componentes oscilatórios na resposta do sistema. Esses polos geralmente aparecem em pares conjugados, σ±jω, levando a respostas envolvendo termos seno e cosseno modulados por um decaimento exponencial,

e^σt(cos⁡(ωt)+jsin⁡(ωt)).

A estabilidade de um sistema Linear Invariante no Tempo (LTI) é determinada pelas localizações de seus polos no plano s. Para estabilidade de Entrada Limitada, Saída Limitada (BIBO), todos os polos devem estar no semiplano esquerdo (LHP), garantindo que cada resposta de impulso decaia ao longo do tempo. Polos repetidos no LHP contribuem para a estabilidade, mas com decaimento mais gradual devido à ordem aumentada da resposta do sistema.

Por outro lado, polos no semiplano direito (RHP) levam à instabilidade, pois esses polos causam crescimento exponencial na resposta do sistema, resultando em saída ilimitada mesmo para entradas limitadas.

Funções racionais próprias têm um grau numerador menor ou igual ao grau denominador e seguem regras de estabilidade semelhantes às funções estritamente próprias. Funções racionais impróprias, onde o grau numerador excede o grau denominador, são inerentemente não estáveis ​​no BIBO. Isso ocorre porque tais funções implicam que a saída pode se tornar ilimitada para sinais de entrada limitados, violando o princípio da limitação.

Em resumo, os polos de uma função de transferência — sejam simples, repetidos ou complexos — são essenciais para entender a resposta e a estabilidade do sistema. A localização desses polos no plano s determina se o sistema exibe comportamento estável ou se torna instável, com funções racionais próprias e impróprias fornecendo camadas adicionais de estabilidade.