15.5 :  Полюса и устойчивость системы

Передаточная функция — это фундаментальное понятие, представляющее отношение двух полиномов. Числитель и знаменатель инкапсулируют динамику системы. Нули и полюса этой передаточной функции имеют решающее значение для определения поведения и устойчивости системы.

Простые полюса — это уникальные корни полинома знаменателя. Каждый простой полюс соответствует отдельному решению характеристического уравнения системы, что обычно приводит к экспоненциальным членам затухания в ответе системы.

Повторяющиеся полюса, встречающиеся более одного раза в знаменателе, указывают на более сложное поведение системы. Эти полюса предполагают либо колебательное поведение, либо более медленные скорости затухания, что приводит к членам, включающим t^n e^σt в ответе во временном домене, где n — кратность полюса, а σ — действительная часть полюса.

Сложные полюса имеют как действительную, так и мнимую части, что приводит к колебательным компонентам в отклике системы. Эти полюса обычно появляются в сопряженных парах, σ±jω, что приводит к откликам, включающим синусоидальные и косинусоидальные члены, модулированные экспоненциальным затуханием,

e^σt(cos⁡(ωt)+jsin⁡(ωt)).

Устойчивость линейной системы, инвариантной по времени (LTI), определяется расположением ее полюсов в s-плоскости. Для устойчивости с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) все полюса должны лежать в левой полуплоскости (LHP), гарантируя, что каждый импульсный отклик со временем затухает. Повторяющиеся полюса в LHP способствуют устойчивости, но с более постепенным затуханием из-за возросшего порядка реакции системы.

Наоборот, полюса в правой полуплоскости (RHP) приводят к нестабильности, поскольку эти полюса вызывают экспоненциальный рост реакции системы, что приводит к неограниченному выходу даже для ограниченных входов.

Правильные рациональные функции имеют степень числителя, меньшую или равную степени знаменателя, и следуют правилам устойчивости, аналогичным строго правильным функциям. Неправильные рациональные функции, где степень числителя превышает степень знаменателя, по своей сути не являются BIBO-устойчивыми. Это связано с тем, что такие функции подразумевают, что выход может стать неограниченным для ограниченных входных сигналов, нарушая принцип ограниченности.

Подводя итог, полюса передаточной функции — простые, повторяющиеся или сложные — играют решающую роль в понимании реакции и устойчивости системы. Расположение этих полюсов в s-плоскости определяет, будет ли система демонстрировать устойчивое поведение или станет нестабильной, при этом правильные и неправильные рациональные функции обеспечивают дополнительные уровни устойчивости.