16.1 : متسلسلة فورييه المثلثية

متسلسلة فورييه هي تقنية رياضية أساسية تحلل الدوال الدورية إلى سلسلة لا نهائية من التوافقيات الجيبية. تمكّن هذه الطريقة من تمثيل الإشارات الدورية المعقدة كمجموعات من دوال الجيب وجيب التمام البسيطة، مما يسهل تحليلها وتفسيرها في مجالات مختلفة، بما في ذلك معالجة الإشارات والصوتيات والهندسة الكهربائية.

تعبر سلسلة فورييه المثلثية بشكل خاص عن دالة دورية بفترة محددة T باستخدام دوال الجيب وجيب التمام. الشكل العام لسلسلة فورييه المثلثية للدالة x(t) هو:

هنا، يمثل 𝑎_0 القيمة المتوسطة للدالة على مدى فترة واحدة، بينما

𝑎_𝑛 و𝑏_𝑛 هما معاملا فورييه اللذان يحددان مساهمة كل دالة جيب التمام وجيب التمام على التوالي. يتم تحديد هذه المعاملات من خلال التكامل على فترة واحدة T:

هذه التكاملات ضرورية لحساب المعاملات الدقيقة التي تعيد بناء الدالة الأصلية من مكوناتها الجيبية.

لتصوير دالة دورية بدقة باستخدام سلسلة فورييه، يجب استيفاء شروط دي ريتشليت. ينص الشرط الأول على أن الدالة يجب أن يكون لها تكامل منتهٍ على فترة واحدة، مما يضمن أن تكون الدالة الكلية محدودة. يتطلب الشرط الثاني أن يكون للدالة عدد محدود من القيم القصوى والدنيا ضمن أي نطاق معين، مما يضمن أن الدالة لا تظهر تذبذبات مفرطة. ينص الشرط الثالث على أن الدالة يجب أن تمتلك عددًا محدودًا من الانقطاعات، ولا يوجد منها ما لا نهائي. تضمن هذه الشروط تقارب سلسلة فورييه بشكل مناسب مع الدالة الأصلية.

في التطبيقات العملية، حتى لو لم يتم استيفاء هذه الشروط بشكل صارم، فما زال من الممكن إنشاء تمثيلات متسلسلة فورييه. وعلى الرغم من أن مثل هذه التمثيلات قد تكون أقل دقة، إلا أنها قد توفر تقريبات مفيدة لتحليل وتركيب الدوال الدورية. وتؤكد هذه المرونة على قوة ومتانة متسلسلة فورييه في التطبيقات الرياضية والهندسية المختلفة.