16.1 : Serie di Fourier trigonometriche

La serie di Fourier è una tecnica matematica fondamentale che scompone le funzioni periodiche in una serie infinita di armoniche sinusoidali. Questo metodo consente la rappresentazione dei segnali periodici complessi come le somme di semplici funzioni seno e coseno, facilitandone l'analisi e l'interpretazione in vari campi, tra cui l'elaborazione del segnale, l'acustica e l'ingegneria elettrica.

La serie di Fourier trigonometrica esprime specificamente una funzione periodica con un periodo definito T usando le funzioni seno e coseno. La forma generale della serie di Fourier trigonometrica per una funzione x(t) è:

Qui, a_0 rappresenta il valore medio della funzione su un periodo, mentre a_n e b_n sono i coefficienti di Fourier che quantificano il contributo di ciascuna funzione coseno e seno. Questi coefficienti sono determinati tramite l’integrazione su un periodo T:

Questi integrali sono essenziali per calcolare i coefficienti esatti che ricostruiscono la funzione originale dalle sue componenti sinusoidali.

Per rappresentare accuratamente una funzione periodica usando una serie di Fourier, devono essere soddisfatte le condizioni di Dirichlet. La prima condizione stabilisce che la funzione deve avere un integrale finito su un periodo, assicurando che la funzione complessiva sia limitata. La seconda condizione richiede che la funzione abbia un numero limitato di massimi e minimi entro un dato intervallo, assicurando che la funzione non presenti delle oscillazioni eccessive. La terza condizione impone che la funzione debba possedere un numero finito di discontinuità, nessuna delle quali è infinita. Queste condizioni assicurano che la serie di Fourier converga in modo appropriato alla funzione originale.

Nelle applicazioni pratiche, anche se queste condizioni non sono rigorosamente soddisfatte, le rappresentazioni delle serie di Fourier possono spesso essere ancora costruite. Queste rappresentazioni, sebbene potenzialmente meno accurate, possono fornire delle utili approssimazioni per analizzare e sintetizzare le funzioni periodiche. Questa flessibilità sottolinea la robustezza e l'utilità delle serie di Fourier in varie applicazioni matematiche e ingegneristiche.