16.1 : טור פורייה טריגונומטרי

טור פורייה הוא שיטה מתמטית בסיסית המפרקת פונקציות מחזוריות לסדרה אינסופית של הרמוניות סינוסואידליות. שיטה זו מאפשרת ייצוג של אותות מחזוריים מורכבים כסכומים של פונקציות סינוס וקוסינוס פשוטות, ומקלה על ניתוחם ופענוחם בתחומים שונים, כולל עיבוד אותות, אקוסטיקה, והנדסת חשמל.

טור פורייה הטריגונומטרי מבטא במיוחד פונקציה מחזורית עם מחזור מוגדר T באמצעות פונקציות סינוס וקוסינוס. הצורה הכללית של טור פורייה הטריגונומטרי עבור פונקציה (X(t היא:

כאן, a_0​ מייצג את הערך הממוצע של הפונקציה על פני מחזור אחד, בעוד ש-a_n​ ו-b_n​ הם מקדמי פורייה, שמכמתים את התרומה של כל פונקציית קוסינוס וסינוס, בהתאמה. מקדמים אלו נקבעים באמצעות אינטגרציה על פני מחזור אחד T:

אינטגרלים אלו חיוניים לחישוב מדויק של המקדמים שמאפשרים לבנות מחדש את הפונקציה המקורית מרכיביה הסינוסואידליים.

כדי לייצג במדויק פונקציה מחזורית באמצעות טור פורייה, יש לעמוד בתנאי דיריכלה. התנאי הראשון קובע שלפונקציה צריך להיות אינטגרל סופי על פני מחזור אחד, כדי להבטיח שהפונקציה הכללית תהיה חסומה. התנאי השני דורש שלפונקציה יהיה מספר מוגבל של מקסימום ומינימום בתחום נתון, כדי להבטיח שהפונקציה לא תציג תנודות יתר. התנאי השלישי קובע שלפונקציה צריך להיות מספר סופי של אי-רציפויות, כאשר אף אחת מהן אינה אינסופית. תנאים אלו מבטיחים שטור פורייה יתכנס כראוי לפונקציה המקורית.

ביישומים מעשיים, גם אם תנאים אלו אינם מתקיימים במדויק, ניתן לעיתים עדיין לבנות ייצוגים של טורי פורייה. ייצוגים אלו, למרות שהם עשויים להיות פחות מדויקים, מספקים קירובים שימושיים לניתוח והרכבה של פונקציות מחזוריות. גמישות זו מדגישה את החוזק והשימושיות של טור פורייה ביישומים מתמטיים והנדסיים שונים.