16.1 : Serie trigonométrica de Fourier

La serie de Fourier es una técnica matemática fundamental que descompone las funciones periódicas en una serie infinita de armónicos sinusoidales. Este método permite la representación de señales periódicas complejas como sumas de funciones seno y coseno simples, lo que facilita su análisis e interpretación en varios campos, incluidos el procesamiento de señales, la acústica y la ingeniería eléctrica.

La serie trigonométrica de Fourier expresa específicamente una función periódica con un período definido T utilizando las funciones seno y coseno. La forma general de la serie trigonométrica de Fourier para una función x(t) es:

Aquí, a_0 representa el valor promedio de la función durante un período, mientras que a_n y b_n son los coeficientes de Fourier que cuantifican la contribución de cada función seno y coseno, respectivamente. Estos coeficientes se determinan mediante la integración durante un período T:

Estas integrales son esenciales para calcular los coeficientes exactos que reconstruyen la función original a partir de sus componentes sinusoidales.

Para representar con precisión una función periódica mediante una serie de Fourier, se deben cumplir las condiciones de Dirichlet. La primera condición estipula que la función debe tener una integral finita durante un período, lo que garantiza que la función general esté acotada. La segunda condición requiere que la función tenga un número limitado de máximos y mínimos dentro de un rango determinado, lo que garantiza que la función no presente oscilaciones excesivas. La tercera condición exige que la función posea un número finito de discontinuidades, ninguna de las cuales sea infinita. Estas condiciones garantizan que la serie de Fourier converja adecuadamente a la función original.

En aplicaciones prácticas, incluso si no se cumplen estrictamente estas condiciones, a menudo es posible construir representaciones de series de Fourier. Estas representaciones, aunque potencialmente menos precisas, pueden proporcionar aproximaciones útiles para analizar y sintetizar funciones periódicas. Esta flexibilidad subraya la solidez y utilidad de las series de Fourier en diversas aplicaciones matemáticas y de ingeniería.