14.3 : Convolution : Mathématiques, graphiques et signaux discrets

Dans tout système LTI (Linéaire invariant dans le temps), la convolution de deux signaux est représentée par un opérateur de convolution, en supposant que toutes les conditions initiales sont nulles. L'intégrale de convolution peut être divisée en deux parties : l'entrée nulle ou réponse naturelle et l'état nul ou réponse forcée, t_0 indiquant le temps initial.

Pour simplifier l'intégrale de convolution, on suppose que le signal d'entrée et la réponse impulsionnelle sont tous deux nuls pour les valeurs de temps négatives. Le processus graphique de convolution comporte quatre étapes : le repliement, le décalage, la multiplication et l’intégration.

Considérons un circuit RC avec un signal d'impulsion d'entrée et une réponse de sortie spécifiés. Dans un premier temps, le repliement est effectué en créant une image miroir du signal d'entrée le long de l'axe des y. Cette opération est suivie d’un décalage, où le signal replié est glissé le long de l'axe du temps. Ensuite, la multiplication des signaux repliés et décalés est effectuée point par point. Enfin, l'intégration du signal résultant au fil du temps fournit le résultat de la convolution. Ce processus peut être représenté graphiquement.

Dans la convolution à temps discret, la réponse du système est déterminée en appliquant une entrée à un système à temps discret et en utilisant la réponse impulsionnelle et la somme de convolution. La convolution du signal d'entrée discret x[n] et de la réponse impulsionnelle h[n] forme la somme de convolution pour la réponse du système :

Cette somme permet de calculer le signal de sortie y[n] à chaque pas de temps discret n. Il est essentiel de comprendre la convolution continue et discrète pour analyser les systèmes LTI et prédire leur comportement en réponse à diverses entrées.