14.3 : matematica, grafica e segnali discreti

In qualsiasi sistema LTI (Linear Time-Invariant), la convoluzione di due segnali è indicata attraverso un’operazione di convoluzione, supponendo che tutte le condizioni iniziali siano uguali a zero. L'integrale di convoluzione può essere suddiviso in due parti: la risposta naturale o di ingresso zero, e la risposta forzata o di stato zero, con t_0 che indica il tempo iniziale.

Per semplificare l'integrale di convoluzione, si suppone che sia il segnale di ingresso che la risposta impulsiva siano pari a zero per i valori di tempo negativi. Il processo di convoluzione grafica prevede quattro fasi: ripiegamento, spostamento, moltiplicazione e integrazione.

Consideriamo un circuito RC con un segnale di impulso di ingresso e una risposta di uscita specificati. Inizialmente, il ripiegamento viene eseguito creando un'immagine speculare del segnale d’ingresso lungo l'asse y. Esso segue lo spostamento, in cui il segnale ripiegato viene fatto scorrere lungo l'asse del tempo. Quindi, la moltiplicazione dei segnali ripiegati e spostati viene eseguita punto per punto. Infine, l'integrazione del segnale risultante nel tempo fornisce il risultato della convoluzione. Questo processo può essere rappresentato graficamente.

Nella convoluzione a tempo discreto, la risposta del sistema è determinata applicando un input ad un sistema a tempo discreto e usando la risposta all'impulso e la somma di convoluzione. La convoluzione del segnale di input discreto x[n] e la risposta all'impulso h[n] formano la somma di convoluzione per la risposta del sistema:

Questa somma calcola il segnale di output y[n] a ogni passo temporale discreto n. Comprendere sia la convoluzione continua che quella discreta è fondamentale per analizzare i sistemi LTI e prevedere il loro comportamento in risposta a vari input.