14.4 : Właściwości splotu - I

Obliczenia splotu można uprościć, wykorzystując ich właściwości.

Własność przemienna ujawnia, że dane wejściowe i odpowiedź impulsowa układu LTI (system liniowy niezmienniczy w czasie) może być zmieniana bez wpływu na dane wyjściowe:

Własność asocjacyjna sugeruje, że scalony splot trzech funkcji pozostaje niezmieniony niezależnie od kolejności splotu. Na przykład dla trzech funkcji x(t), h_1(t) i h_2(t) jest zapisywane jako,

Gdy dwa układy LTI z odpowiedziami impulsowymi są połączone szeregowo, ich odpowiednie równania można połączyć, używając własności asocjacyjnej, aby wyprowadzić równoważną wspólną odpowiedź impulsową, która jest splotem ich indywidualnych odpowiedzi impulsowych.

Własność rozdzielcza umożliwia operację splotu na sumie wielu sygnałów wejściowych, umożliwiając rozbicie złożonych odpowiedzi impulsowych na prostsze składniki. Matematycznie jest to reprezentowane jako:

Właściwość przesunięcia w czasie oznacza, że opóźnienie wejścia układu niezmiennego w czasie powoduje opóźnienie wyjścia o tę samą wartość. Podobnie, jeśli system ma wbudowane opóźnienie, wyjście jest opóźnione o sumę opóźnienia wejściowego i opóźnienia systemowego. Dla przesunięcia w czasie t_0:

Obliczeniowo ta właściwość pozwala na opóźnienie lub przyspieszenie sygnałów, wykorzystując ich symetrię lub przyczynowość w celu uproszczenia operacji splotu.

Te właściwości — przemienność, asocjacyjność i przesunięcie w czasie — są podstawowymi narzędziami do uproszczenia operacji splotu w systemach LTI, dzięki czemu złożone zadania przetwarzania sygnałów są bardziej łatwe w zarządzaniu i wydajne.