19.5 : Odwrotna transformacja Z przez rozwinięcie ułamka cząstkowego

Odwrotna transformacja Z jest techniką konwersji funkcji z jej reprezentacji w dziedzinie Z do dziedziny czasu. Jedną z efektywnych metod znajdowania odwrotnej transformacji Z jest metoda ułamka cząstkowego, która polega na rozłożeniu funkcji na prostsze ułamki o różnych współczynnikach. Ułamki te odpowiadają znanym parom transformacji Z, ułatwiając proces odwrotnej transformacji.

Aby rozpocząć proces, identyfikuje się bieguny funkcji i wyraża funkcję za pomocą tych biegunów. Każdy biegun wnosi wyraz do rozkładu ułamka cząstkowego. Współczynniki dla każdego wyrazu w rozkładzie są określane przez ocenę reszt na każdym biegunie.

Po określeniu współczynników funkcja jest ponownie składana w swojej rozłożonej formie, co ułatwia pracę z nią. Następnie odwrotna transformacja Z jest stosowana do każdego ułamka oddzielnie. Wynik łączy funkcje delta, sekwencje wykładnicze i funkcje skokowe reprezentujące oryginalną sekwencję w dziedzinie czasu.

Używając metody ułamków cząstkowych, odwrotna transformacja Z funkcji zespolonych staje się bardziej możliwa do opanowania, umożliwiając dokładną konwersję z powrotem do dziedziny czasu. Ta metoda zapewnia, że ​​każdy składnik rozłożonej funkcji jest poprawnie przekształcany, co skutkuje dokładną rekonstrukcją oryginalnej sekwencji.