19.5 : Inverse Z-Transformation durch Partialbruchzerlegung

Die inverse Z-Transformation ist eine wichtige Technik, um eine Funktion von ihrer Z-Bereichdarstellung zurück in den Zeitbereich zu konvertieren. Eine effektive Methode zum Finden der inversen Z-Transformation ist die Partialbruchzerlegung, bei der eine Funktion in einfachere Brüche mit unterschiedlichen Koeffizienten zerlegt wird. Diese Brüche entsprechen bekannten Z-Transformationspaaren und erleichtern den inversen Transformationsprozess.

Zu Beginn des Prozesses werden die Pole der Funktion identifiziert und die Funktion in Bezug auf diese Pole ausgedrückt. Jeder Pol trägt einen Term zur Partialbruchzerlegung bei. Die Koeffizienten für jeden Term in der Zerlegung werden durch Auswerten der Restmenge an jedem Pol bestimmt.

Nachdem die Koeffizienten bestimmt sind, wird die Funktion in ihrer zerlegten Form wieder zusammengesetzt, was die Arbeit damit vereinfacht. Die inverse Z-Transformation wird dann auf jeden Bruchterm separat angewendet. Das Ergebnis kombiniert Deltafunktionen, Exponentialfolgen und Stufenfunktionen, die die ursprüngliche Zeitbereichsfolge darstellen.

Mit der Partialbruchzerlegung wird die inverse Z-Transformation komplexer Funktionen einfacher handhabbar und ermöglicht eine genaue Rückkonvertierung in den Zeitbereich. Diese Methode stellt sicher, dass jede Komponente der zerlegten Funktion korrekt transformiert wird, was zu einer präzisen Rekonstruktion der ursprünglichen Sequenz führt.