19.7 : علاقة تحويل فورييه المنفصل بتحويل زد

يعد تحويل فورييه المنفصل (DFT) أداة بالغة الأهمية لتحليل محتوى التردد لإشارات الزمن المنفصل. فهو يحول تسلسلًا من N عينات من المجال الزمني إلى تسلسله المقابل في المجال الترددي، حيث تمثل كل عينة مكونًا تردديًا محددًا.

لفهم كيفية عمل تحويل فورييه المنفصل، من المفيد التفكير في تحويل زد، وهو طريقة لتمثيل التسلسلات المنفصلة في المجال الترددي المركب. يتضمن تحويل زد جمع حدود التسلسل، كل منها مضروبًا في قوة عدد مركب. بالنسبة للتسلسلات التي تبدأ عند نقطة زمنية محددة وتمتد إلى الأمام (التسلسلات السببية)، يمكن التعبير عن تحويل زد كمجموع لا نهائي أو منتهٍ، اعتمادًا على طول التسلسل.

من خلال تقييم تحويل زد عند N نقاط متباعدة بالتساوي حول الدائرة الوحدوية في المستوى المركب، يتم الحصول على القيم التي تتوافق مع معاملات تحويل فورييه المنفصل. هذه النقاط هي جذور الوحدة، وتقييم تحويل z عند هذه النقاط يعمل بشكل فعال على أخذ عينات من محتوى التردد للإشارة عند تلك الترددات المحددة.

لذا، يمكن اعتبار تحويل فورييه السريع تطبيقًا محددًا لتحويل z، يركز على تقييم التسلسل في هذه المواقع الدقيقة على دائرة الوحدة. تترجم هذه العملية تسلسلات المجال الزمني إلى نظيراتها في المجال الترددي، مما يجعل من الممكن تحليل مكونات التردد المختلفة لإشارات الوقت المنفصل.

تسلط قدرة تحويل فورييه السريع على الكشف عن محتوى التردد للإشارات الضوء على أهميتها في معالجة الإشارات الرقمية وغيرها من المجالات ذات الصلة. يتم استخدامه على نطاق واسع في تطبيقات مثل معالجة الإشارات الصوتية وتحليل الصور وأنظمة الاتصالات. علاوة على ذلك، فإن تحويل فورييه السريع (FFT) هو خوارزمية فعالة تستخدم عادة لحساب تحويل فورييه السريع، مما يتيح معالجة الإشارات في الوقت الفعلي.