19.7 : DFT 与 Z 变换的关系
离散傅里叶变换 (DFT) 是分析离散时间信号频率内容的重要工具。它将时间域中的 N 个样本序列转换为频域中的相应序列，其中每个样本代表一个特定的频率分量。
要了解 DFT 的工作原理，考虑 z 变换会很有帮助，这是一种在复频域中表示离散序列的方法。z 变换涉及对序列的项求和，每个项乘以复数的幂。对于从特定时间点开始并向前延伸的序列（因果序列），z 变换可以表示为无限或有限和，具体取决于序列长度。
通过在复平面上单位圆周围 N 个等距点处评估 z 变换，可以获得与 DFT 系数相对应的值。这些点是单位根，在这些点处评估 z 变换可以有效地采样信号在这些特定频率下的频率内容。
因此，DFT 可以看作是 z 变换的一个特定应用，专注于评估单位圆上这些精确位置处的序列。此过程将时域序列转换为频域序列，从而可以分析离散时间信号的不同频率分量。
DFT 能够揭示信号的频率内容，这凸显了其在数字信号处理和其他相关领域中的重要性。它广泛应用于音频信号处理、图像分析和通信系统等应用。此外，快速傅里叶变换 (FFT) 是一种常用于计算 DFT 的有效算法，可以实现信号的实时处理。
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