19.7 : Relação da DFT com a Transformada Z

A Transformada Discreta de Fourier (DFT) é uma ferramenta crucial para analisar o conteúdo de frequência de sinais de tempo discreto. Ela converte uma sequência de N amostras do domínio do tempo em sua sequência correspondente no domínio da frequência, onde cada amostra representa um componente de frequência específico.

Para entender como a DFT funciona, é útil considerar a transformada z, que é um método para representar sequências discretas no domínio da frequência complexa. A transformada z envolve a soma dos termos da sequência, cada um multiplicado pela potência de um número complexo. Para sequências que começam em um ponto específico no tempo e se estendem para a frente (sequências causais), a transformada z pode ser expressa como uma soma infinita ou finita, dependendo do comprimento da sequência.

Ao avaliar a transformada z em N pontos igualmente espaçados ao redor do círculo unitário no plano complexo, os valores que correspondem aos coeficientes da DFT são obtidos. Esses pontos são as raízes da unidade, e avaliar a transformada z nesses pontos efetivamente amostra o conteúdo de frequência do sinal nessas frequências específicas.

Então, a DFT pode ser vista como uma aplicação específica da transformada z, focada em avaliar a sequência nesses locais precisos no círculo unitário. Esse processo traduz sequências de domínio de tempo em suas contrapartes de domínio de frequência, tornando possível analisar os diferentes componentes de frequência de sinais de tempo discreto.

A capacidade da DFT de revelar o conteúdo de frequência dos sinais destaca sua importância no processamento de sinais digitais e outros campos relacionados. Ela é amplamente usada em aplicações como processamento de sinais de áudio, análise de imagens e sistemas de comunicação. Além disso, a Transformada Rápida de Fourier (FFT) é um algoritmo eficiente comumente usado para calcular a DFT, permitindo o processamento de sinais em tempo real.