19.7 : Relacja między DFT i transformacją Z

Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) jest narzędziem do analizy częstotliwości sygnałów dyskretnych. Konwertuje ona sekwencję próbek N z dziedziny czasu na odpowiadającą jej sekwencję w dziedzinie częstotliwości, gdzie każda próbka reprezentuje określoną składową częstotliwości.

Aby zrozumieć, jak działa DFT, pomocne jest rozważenie transformacji Z, która jest metodą reprezentowania dyskretnych sekwencji w zespolonej dziedzinie częstotliwości. Transformacja Z obejmuje sumowanie wyrazów sekwencji, z których każdy jest mnożony przez potęgę liczby zespolonej. W przypadku sekwencji, które zaczynają się w określonym punkcie czasu i rozciągają się do przodu (sekwencje przyczynowe), transformację Z można wyrazić jako sumę nieskończoną lub skończoną, w zależności od długości sekwencji.

Poprzez ocenę transformacji Z w punktach N równomiernie rozmieszczonych wokół okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej uzyskuje się wartości odpowiadające współczynnikom DFT. Te punkty są pierwiastkami jedności, a ocena transformacji Z w tych punktach skutecznie pobiera próbki częstotliwości sygnału przy tych określonych częstotliwościach.

DFT można więc postrzegać jako konkretne zastosowanie transformacji Z, skupione na ocenie sekwencji w tych precyzyjnych miejscach na okręgu jednostkowym. Ten proces tłumaczy sekwencje w dziedzinie czasu na ich odpowiedniki w dziedzinie częstotliwości, umożliwiając analizę różnych składowych częstotliwości sygnałów dyskretnych w czasie.

Możliwość DFT ujawniania częstotliwości sygnałów podkreśla jej znaczenie w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów i innych pokrewnych dziedzinach. Jest szeroko stosowana w aplikacjach takich jak przetwarzanie sygnałów audio, analiza obrazów i systemy komunikacyjne. Ponadto szybka transformata Fouriera (FFT) jest wydajnym algorytmem powszechnie używanym do obliczania DFT, umożliwiającym przetwarzanie sygnałów w czasie rzeczywistym.