19.7 : Связь ДПФ с Z-преобразованием

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) является важнейшим инструментом для анализа частотного содержания дискретных по времени сигналов. Оно преобразует последовательность N выборок из временного домена в соответствующую ей последовательность в частотном домене, где каждая выборка представляет собой определенный частотный компонент.

Чтобы понять, как работает ДПФ, полезно рассмотреть z-преобразование, которое является методом представления дискретных последовательностей в комплексном частотном домене. Z-преобразование включает суммирование членов последовательности, каждый из которых умножается на степень комплексного числа. Для последовательностей, которые начинаются в определенной точке времени и распространяются вперед (каузальные последовательности), z-преобразование может быть выражено как бесконечная или конечная сумма, в зависимости от длины последовательности.

Оценивая z-преобразование в N равноотстоящих точках вокруг единичной окружности в комплексной плоскости, получают значения, соответствующие коэффициентам ДПФ. Эти точки являются корнями единицы, и оценка z-преобразования в этих точках эффективно дискретизирует частотное содержание сигнала на этих конкретных частотах.

Таким образом, ДПФ можно рассматривать как конкретное применение z-преобразования, сосредоточенное на оценке последовательности в этих точных местах на единичной окружности. Этот процесс переводит последовательности во временном домене в их аналоги в частотном домене, что позволяет анализировать различные частотные компоненты дискретных сигналов.

Способность ДПФ раскрывать частотное содержание сигналов подчеркивает его важность в цифровой обработке сигналов и других смежных областях. Оно широко используется в таких приложениях, как обработка аудиосигналов, анализ изображений и системы связи. Кроме того, быстрое преобразование Фурье (БПФ) является эффективным алгоритмом, обычно используемым для вычисления ДПФ, что позволяет обрабатывать сигналы в реальном времени.