19.7 : Beziehung zwischen DFT und Z-Transformation

Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist ein wichtiges Werkzeug zur Analyse des Frequenzinhalts von zeitdiskreten Signalen. Sie wandelt eine Folge von N Abtastungen aus dem Zeitbereich in die entsprechende Folge im Frequenzbereich um, wobei jede Abtastung eine bestimmte Frequenzkomponente darstellt.

Um zu verstehen, wie die DFT funktioniert, ist es hilfreich, die Z-Transformation zu betrachten, eine Methode zur Darstellung diskreter Folgen im komplexen Frequenzbereich. Bei der Z-Transformation werden die Terme der Folge summiert, wobei jeder Term mit der Potenz einer komplexen Zahl multipliziert wird. Für Folgen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt beginnen und sich nach vorne erstrecken (kausale Folgen), kann die Z-Transformation je nach Folgenlänge als unendliche oder endliche Summe ausgedrückt werden.

Durch Auswertung der Z-Transformation an N gleichmäßig verteilten Punkten um den Einheitskreis in der komplexen Ebene werden die Werte ermittelt, die den DFT-Koeffizienten entsprechen. Diese Punkte sind die Einheitswurzeln, und die Auswertung der Z-Transformation an diesen Punkten tastet effektiv den Frequenzinhalt des Signals bei diesen spezifischen Frequenzen ab.

Die DFT kann also als eine spezifische Anwendung der Z-Transformation betrachtet werden, die sich auf die Auswertung der Sequenz an diesen genauen Stellen auf dem Einheitskreis konzentriert. Dieser Prozess übersetzt Zeitbereichssequenzen in ihre Gegenstücke im Frequenzbereich, wodurch es möglich wird, die verschiedenen Frequenzkomponenten von zeitdiskreten Signalen zu analysieren.

Die Fähigkeit der DFT, den Frequenzinhalt von Signalen aufzudecken, unterstreicht ihre Bedeutung in der digitalen Signalverarbeitung und anderen verwandten Feldern. Sie wird häufig in Anwendungen wie Audiosignalverarbeitung, Bildanalyse und Kommunikationssystemen eingesetzt. Darüber hinaus ist die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ein effizienter Algorithmus, der häufig zur Berechnung der DFT verwendet wird und eine Echtzeitverarbeitung von Signalen ermöglicht.