21.5 : التقريب الخطي في مجال التردُّد

تتميز الأنظمة الخطية بخاصيتين رئيسيتين: التراكب والتجانس. يسمح التراكب بأن تكون الاستجابة لمدخلات متعددة مجموع الاستجابات لكل مدخل فردي. يضمن التجانس أن قياس المدخلات بواسطة مقياس يؤدي إلى قياس الاستجابة بواسطة نفس المقياس.

على النقيض من ذلك، لا تمتلك الأنظمة غير الخطية هذه الخصائص بطبيعتها. ومع ذلك، بالنسبة للانحرافات الصغيرة حول نقطة التشغيل، يمكن غالبًا تقريب النظام غير الخطي على أنه خطي. يتم تحقيق هذا التقريب من خلال توسع سلسلة تايلور، الذي يعبر عن دالة من حيث مشتقاتها عند نقطة معينة. من خلال إهمال الحدود ذات الترتيب الأعلى للانحرافات الصغيرة، يتم الحصول على علاقة خطية.

لنفترض وجود دائرة مقاومة وملف (RL) تحتوي على مقاوم غير خطي. لتحليل هذا النظام، فإن الخطية ضرورية قبل اشتقاق دالة التحويل.

تتضمن الخطوة الأولى تطبيق قانون الجهد لكيرشوف على الدائرة، مما ينتج عنه معادلة تفاضلية غير خطية تصف النظام. على سبيل المثال، قد تأخذ معادلة قانون الجهد الشكل التالي:

حيث 𝑉(𝑡) هو الجهد المطبق، وL هو المحاثة، وR هي المقاومة، وE تمثل جهد البطارية.

لإيجاد التيار في الحالة المستقرة، نضبط مصدر الإشارة الصغيرة على الصفر ونحل التيار المتوازن i_0. ثم تتم إعادة كتابة معادلة التفاضل غير الخطية بدلالة الانحرافات عن هذا التوازن:

يتم استخدام خصائص المقاومة غير الخطية لاستنتاج معادلة التفاضل الخطية. بالنسبة للانحرافات الصغيرة في التيار، يمكن كتابة معادلة الجهد على النحو التالي:

عند استبدال هذا التقريب في معادلة قانون الجهد، نحصل على معادلة تفاضلية خطية. مع استبدال القيم المعروفة وافتراض الظروف الأولية صفرية، يتم تطبيق تحويل لابلاس لتحويل المعادلة التفاضلية إلى معادلة جبرية في مجال لابلاس.