21.5 : קירוב לינארי במישור התדר

Linear systems exhibit superposition, summing responses to individual inputs, and homogeneity, scaling responses consistently to an input multiplied by a scalar.

A nonlinear system can be considered linear about an operating point for small changes.

The Taylor series expansion links a function's value to its derivatives at a specific point and deviations from that point. Neglecting higher-order terms for small deviations gives a linear relationship.

Consider an RL circuit with a non-linear resistor. The presence of the nonlinear component necessitates system linearization before deriving the transfer function.

Kirchhoff's voltage law is utilized to derive a nonlinear differential equation.

The steady-state current is found by setting the small-signal source to zero.

The expression is rewritten in terms of the current's equilibrium value. The characteristics of the non-linear resistor are used to derive the linearized differential equation.

The known values are substituted, and the Laplace transform is applied with zero initial conditions.

The expression for the voltage across the inductor around the equilibrium point is subjected to the Laplace transform and simplified to obtain the transfer function.

מערכות לינאריות מאופיינות בשתי תכונות עיקריות: סופרפוזיציה והומוגניות. סופרפוזיציה מאפשרת שהתגובה לקלטים מרובים תהיה סכום התגובות לכל קלט בנפרד. הומוגניות מבטיחה שכאשר מכפילים קלט בסקלר, התגובה מוכפלת באותו סקלר.

בניגוד לכך, למערכות לא לינאריות אין בהכרח תכונות אלו באופן טבעי. עם זאת, עבור סטיות קטנות סביב נקודת פעולה, ניתן לעיתים לקרב מערכת לא לינארית כמערכת לינארית. קירוב זה מושג באמצעות פיתוח טיילור, שמבטא פונקציה במונחים של הנגזרות שלה בנקודה מסוימת. על ידי התעלמות מאיברים מסדר גבוה עבור סטיות קטנות, מתקבל יחס ליניארי.

נתבונן במעגל RL המכיל נגד לא לינארי. כדי לנתח את המערכת הזו, יש לבצע לינאריזציה לפני גזירת פונקציית התמסורת.

השלב הראשון כולל יישום חוק המתח של קירכהוף על המעגל, מה שמוביל למשוואה דיפרנציאלית לא לינארית המתארת את המערכת. לדוגמה, משוואת חוק המתח עשויה להיראות כך:

Equation1

כאשר (V(t הוא המתח המיושם, L הוא האינדוקטור, R הוא הנגד, ו-E מייצג את מתח הסוללה.

כדי למצוא את הזרם במצב היציב, אנו קובעים את מקור האות הקטן לאפס, כדי לפתור את הזרם בשיווי משקל i_0. לאחר מכן, המשוואה הדיפרנציאלית הלא ליניארית נכתבת מחדש במונחים של סטיות מנקודת שיווי המשקל.

Equation2

מאפייני הנגד הלא ליניארי משמשים לגזירת המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית. עבור סטיות קטנות בזרם, משוואת המתח יכולה להיכתב כך:

Equation3

לאחר הצבת קירוב זה במשוואת חוק המתח, מתקבלת משוואה דיפרנציאלית ליניארית. לאחר הצבת ערכים ידועים והנחה של תנאים התחלתיים השווים לאפס, מיושמת התמרת לפלס כדי להמיר את המשוואה הדיפרנציאלית למשוואה אלגברית במישור לפלס.

Tags

Linear Approximation Frequency Domain Linear Systems Superposition Homogeneity Nonlinear Systems Taylor Series Expansion RL Circuit Nonlinear Resistor Transfer Function Kirchhoff s Voltage Law Differential Equation Steady state Current Small signal Source Equilibrium Current Laplace Transform

From Chapter 21:

article

Now Playing

21.5 : קירוב לינארי במישור התדר

Modeling in Time and Frequency Domain

85 Views

article

21.1 : שיעור: פונקציית תמסורת במערכות בקרה

Modeling in Time and Frequency Domain

362 Views

article

21.2 : מערכות חשמליות

Modeling in Time and Frequency Domain

372 Views

article

21.3 : מערכות מכניות

Modeling in Time and Frequency Domain

171 Views

article

21.4 : מערכות אלקטרו-מכניות

Modeling in Time and Frequency Domain

921 Views

article

21.6 : ייצוג במרחב המצבים

Modeling in Time and Frequency Domain

165 Views

article

21.7 : פונקציית העברה למרחב המדינה

Modeling in Time and Frequency Domain

196 Views

article

21.8 : פונקציית מרחב המדינה להעברה

Modeling in Time and Frequency Domain

174 Views

article

21.9 : קירוב ליניארי בתחום הזמן

Modeling in Time and Frequency Domain

64 Views

Copyright © 2025 MyJoVE Corporation. All rights reserved