Lineare Systeme zeichnen sich durch zwei Haupteigenschaften aus: Überlagerung und Homogenität. Überlagerung ermöglicht, dass die Reaktion auf mehrere Eingaben die Summe der Reaktionen auf jede einzelne Eingabe ist. Homogenität stellt sicher, dass die Skalierung einer Eingabe mit einem Skalar dazu führt, dass die Reaktion mit demselben Skalar skaliert wird.

Im Gegensatz dazu besitzen nichtlineare Systeme diese Eigenschaften nicht von Natur aus. Bei kleinen Abweichungen um einen Betriebspunkt herum kann ein nichtlineares System jedoch häufig als linear angenähert werden. Diese Näherung wird durch die Taylor-Reihenentwicklung erreicht, die eine Funktion in Bezug auf ihre Ableitungen an einem bestimmten Punkt ausdrückt. Durch Vernachlässigung höherwertiger Terme bei kleinen Abweichungen ergibt sich eine lineare Beziehung.

Betrachten Sie einen RL-Schaltkreis mit einem nichtlinearen Widerstand. Um dieses System zu analysieren, ist eine Linearisierung erforderlich, bevor die Übertragungsfunktion abgeleitet wird.

Der erste Schritt besteht darin, Kirchhoffs Spannungsgesetz auf den Schaltkreis anzuwenden, was zu einer nichtlinearen Differentialgleichung führt, die das System beschreibt. Beispielsweise könnte die Gleichung des Spannungsgesetzes folgende Form annehmen:

Wobei V(t) die angelegte Spannung, L die Induktivität, R der Widerstand und E die Batteriespannung ist.

Um den stationären Strom zu ermitteln, setzen wir die Kleinsignalquelle auf Null und berechnen den Gleichgewichtsstrom i_0. Die nichtlineare Differentialgleichung wird dann in Bezug auf Abweichungen von diesem Gleichgewicht neu geschrieben:

Die Eigenschaften des nichtlinearen Widerstands werden verwendet, um die linearisierte Differentialgleichung abzuleiten. Für kleine Abweichungen im Strom kann die Spannungsgleichung wie folgt geschrieben werden:

Wenn wir diese Näherung in die Gleichung des Spannungsgesetzes einsetzen, erhalten wir eine lineare Differentialgleichung. Durch die Substitution bekannter Werte und unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen Null sind, wird die Laplace-Transformation angewendet, um die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung im Laplace-Bereich umzuwandeln.