21.5 : Approssimazione lineare nel dominio della frequenza

I sistemi lineari sono caratterizzati da due proprietà principali: la sovrapposizione e l’omogeneità. La sovrapposizione consente alla risposta a più input di essere la somma delle risposte ad ogni singolo input. L'omogeneità assicura che il ridimensionamento di un input di uno scalare comporti il ridimensionamento della risposta dello stesso scalare.

Al contrario, i sistemi non lineari non possiedono intrinsecamente queste proprietà. Tuttavia, per piccole deviazioni attorno a un punto operativo, un sistema non lineare può spesso essere approssimato come lineare. Questa approssimazione è ottenuta grazie all'espansione in serie di Taylor, che esprime una funzione in termini delle sue derivate in un punto specifico. Trascurando i termini di ordine superiore per le piccole deviazioni, si ottiene una relazione lineare.

Consideriamo un circuito RL contenente un resistore non lineare. Per analizzare questo sistema, è necessaria la linearizzazione prima di derivare la funzione di trasferimento.

Il primo passaggio consiste nell'applicare la legge di Kirchhoff sulla tensione al circuito, ottenendo un'equazione differenziale non lineare che descrive il sistema. Per esempio, l'equazione della legge sulla tensione potrebbe assumere la forma:

Dove V(t) è la tensione applicata, L è l'induttanza, R è la resistenza ed E rappresenta la tensione della batteria.

Per trovare la corrente in stato stazionario, impostiamo la sorgente di piccolo segnale su 0 e risolviamo per la corrente di equilibrio i_0. L'equazione differenziale non lineare viene quindi riscritta in termini di deviazioni da questo equilibrio:

Le caratteristiche del resistore non lineare vengono usate per derivare l'equazione differenziale linearizzata. Per piccole deviazioni di corrente, l'equazione della tensione può essere scritta come:

Sostituendo questa approssimazione nell'equazione della legge della tensione, otteniamo un'equazione differenziale lineare. Con valori noti sostituiti e supponendo condizioni iniziali uguali a 0, la trasformata di Laplace viene applicata per convertire l'equazione differenziale in un'equazione algebrica nel dominio di Laplace.