21.9 : التقريب الخطي في مجال الزمن

تتطلب الأنظمة غير الخطية غالبًا أساليب متطورة للنمذجة والتحليل الدقيقين، حيث يكون تمثيل مساحة الحالة فعالًا بشكل خاص. هذه الطريقة مفيدة بشكل خاص للأنظمة حيث تتغير المتغيرات والمعلمات مع الوقت أو ظروف التشغيل، كما هو الحال في البندول البسيط أو النظام الميكانيكي الانتقالي مع نوابض غير خطية.

بالنسبة لبندول بسيط بكتلة موزعة بالتساوي على طوله ومركز الكتلة يقع عند نصف طول البندول، يمكن التقاط السلوك الديناميكي عن طريق جمع عزم الدوران حول نقطة الارتكاز. تتضمن المعادلة التفاضلية الناتجة تأثيرات قوة الجاذبية وعزم الدوران المطبق. لتمثيل ذلك في شكل فضاء الحالة، يتم اختيار متغيرات الحالة لوصف موضع النظام وسرعته. تؤدي متغيرات الحالة هذه إلى صياغة معادلات الحالة، التي تصف تطور النظام عبر الزمن.

تتضمن عملية تحويل معادلات الحالة غير الخطية هذه حول نقطة التوازن النظر في الاضطرابات الصغيرة. ومن خلال إحداث اضطراب في متغيرات الحالة حول قيم توازنها وتطبيق توسع سلسلة تايلور، يمكن تقريب الحدود غير الخطية من خلال نظيراتها الخطية. ويؤدي هذا التقريب إلى معادلات حالة خطية يمكن تحليلها باستخدام نظرية النظام الخطي.

في حالة النظام الميكانيكي الانتقالي مع نابض غير خطي، يتم التحكم في ديناميكيات النظام بشكل مماثل بواسطة معادلة تفاضلية تأخذ في الاعتبار قوة النابض غير الخطية. يسمح إدخال اضطراب صغير حول موضع التوازن بخطية المعادلة التفاضلية. يتم حساب قوة التوازن عند x_0 (موضع التوازن)، ويتم تفاضل المعادلة المضطربة للحصول على معادلة تفاضلية خطية.

يتضمن التمثيل الخطي النهائي لحالة الفضاء اختيار متغيرات الحالة المناسبة، والتي غالبًا ما تتضمن موضع وسرعة الكتلة. ثم يتم صياغة معادلات الحالة ومعادلات الإخراج. يوفر تحويل هذه المعادلات إلى شكل متجه-مصفوفة نموذجًا خطيًا شاملاً للنظام. يمكن تحليل هذا النموذج باستخدام تقنيات التحكم والتقدير الخطية المختلفة، مما يسهل تصميم وتنفيذ استراتيجيات التحكم للأنظمة غير الخطية بطبيعتها.