21.9 : Zaman Uzayında Doğrusal Yaklaşım

Doğrusal olmayan sistemler genellikle doğru modelleme ve analiz için karmaşık yaklaşımlar gerektirir ve durum uzayı gösterimi özellikle etkilidir. Bu yöntem, değişkenlerin ve parametrelerin zamana veya çalışma koşullarına göre değiştiği sistemler için özellikle yararlıdır, örneğin basit bir sarkaç veya doğrusal olmayan yaylara sahip bir ötelemeli mekanik sistem.

Uzunluğu boyunca eşit olarak dağılmış bir kütleye ve sarkacın uzunluğunun yarısında bulunan kütle merkezine sahip basit bir sarkaç için, dinamik davranış pivot noktası etrafındaki torkların toplanmasıyla yakalanabilir. Ortaya çıkan diferansiyel denklem, yerçekimi kuvvetinin ve uygulanan torkun etkilerini içerir. Bunu durum uzayı formunda temsil etmek için, sistemin konumunu ve hızını tanımlamak üzere durum değişkenleri seçilir. Bu durum değişkenleri, sistemin zaman evrimini tanımlayan durum denklemlerinin formülasyonuna yol açar.

Bu doğrusal olmayan durum denklemlerinin bir denge noktası etrafındaki doğrusallaştırılması, küçük bozulmaları dikkate almayı içerir. Durum değişkenlerini denge değerleri etrafında bozarak ve bir Taylor serisi genişlemesi uygulayarak, doğrusal olmayan terimler doğrusal karşılıkları tarafından yaklaşıklanabilir. Bu yaklaşıklama, doğrusal sistem teorisi kullanılarak analiz edilebilen doğrusal durum denklemleri üretir.

Doğrusal olmayan bir yay içeren ötelemeli mekanik bir sistem durumunda, sistemin dinamikleri benzer şekilde doğrusal olmayan yay kuvvetini hesaba katan bir diferansiyel denklem tarafından yönetilir. Denge konumu etrafında küçük bir bozulmanın uygulanması, diferansiyel denklemin doğrusallaştırılmasına olanak tanır. x_0'daki (denge konumu) denge kuvveti hesaplanır ve bozulmuş denklem, doğrusallaştırılmış bir diferansiyel denklem elde etmek için türevlenir.

Son doğrusallaştırılmış durum uzayı gösterimi, genellikle kütlenin konumunu ve hızını içeren uygun durum değişkenlerinin seçilmesini içerir. Durum denklemleri ve çıktı denklemleri daha sonra formüle edilir. Bu denklemleri vektör-matris biçimine dönüştürmek, sistemin kapsamlı bir doğrusal modelini verir. Bu model, çeşitli doğrusal kontrol ve tahmin teknikleri kullanılarak analiz edilebilir ve bu da doğası gereği doğrusal olmayan sistemler için kontrol stratejilerinin tasarımını ve uygulamasını kolaylaştırır.