21.9 : Approximation linéaire dans le domaine temporel

Les systèmes non linéaires nécessitent souvent des approches sophistiquées pour une modélisation et une analyse précises, la représentation de l'espace d'état étant particulièrement efficace. Cette méthode est particulièrement utile pour les systèmes dans lesquels les variables et les paramètres varient en fonction du temps ou des conditions de fonctionnement, comme dans un simple pendule ou un système mécanique de translation avec des ressorts non linéaires.

Pour un pendule simple dont la masse est uniformément répartie sur toute sa longueur et dont le centre de masse est situé à la moitié de la longueur du pendule, le comportement dynamique peut être capturé en additionnant les couples autour du point de pivot. L'équation différentielle résultante intègre les effets de la force gravitationnelle et du couple appliqué. Pour représenter cela sous forme d'espace d'état, des variables d'état sont choisies pour décrire la position et la vitesse du système. Ces variables d'état conduisent à la formulation d'équations d'état, qui décrivent l'évolution temporelle du système.

La linéarisation de ces équations d'état non linéaires autour d'un point d'équilibre implique de prendre en compte de petites perturbations. En perturbant les variables d'état autour de leurs valeurs d'équilibre et en appliquant un développement en série de Taylor, les termes non linéaires peuvent être approximés par leurs équivalents linéaires. Cette approximation donne des équations d'état linéaires qui peuvent être analysées à l'aide de la théorie des systèmes linéaires.

Dans le cas d'un système mécanique de translation avec un ressort non linéaire, la dynamique du système est également régie par une équation différentielle qui tient compte de la force non linéaire du ressort. L'introduction d'une petite perturbation autour de la position d'équilibre permet la linéarisation de l'équation différentielle. La force d'équilibre à x_0 (la position d'équilibre) est calculée et l'équation perturbée est différenciée pour obtenir une équation différentielle linéarisée.

La représentation linéarisée finale de l'espace d'état implique la sélection de variables d'état appropriées, qui incluent souvent la position et la vitesse de la masse. Les équations d'état et les équations de sortie sont ensuite formulées. La conversion de ces équations sous forme de vecteur-matrice fournit un modèle linéaire complet du système. Ce modèle peut être analysé à l'aide de diverses techniques de contrôle et d'estimation linéaires, facilitant la conception et la mise en œuvre de stratégies de contrôle pour les systèmes intrinsèquement non linéaires.