21.9 : Aproksymacja liniowa w dziedzinie czasu

Do dokładnego modelowania i analizy układów nieliniowych często wymagane są wyrafinowane podejścia, przy czym szczególnie skuteczna jest reprezentacja przestrzeni stanów. Ta metoda jest szczególnie przydatna w przypadku systemów, w których zmienne i parametry zmieniają się w czasie lub w warunkach działania, na przykład w prostym wahadle lub translacyjnym układzie mechanicznym z nieliniowymi sprężynami.

W przypadku prostego wahadła, którego masa jest równomiernie rozłożona na całej długości i którego środek masy znajduje się w połowie długości wahadła, zachowanie dynamiczne można uchwycić, sumując momenty obrotowe wokół punktu obrotu. Powstałe równanie różniczkowe uwzględnia efekty siły grawitacyjnej i przyłożonego momentu obrotowego. Aby przedstawić to w formie przestrzeni stanu, wybiera się zmienne stanu opisujące położenie i prędkość układu. Te zmienne stanu prowadzą do sformułowania równań stanu, które opisują ewolucję czasową układu.

Liniowość tych nieliniowych równań stanu wokół punktu równowagi wymaga uwzględnienia małych zaburzeń. Poprzez zaburzenie zmiennych stanu wokół ich wartości równowagi i zastosowanie rozwinięcia w szereg Taylora, nieliniowe człony mogą być przybliżone przez ich liniowe odpowiedniki. To przybliżenie daje liniowe równania stanu, które można analizować za pomocą teorii systemów liniowych.

W przypadku translacyjnego układu mechanicznego z nieliniową sprężyną dynamika układu jest podobnie regulowana przez równanie różniczkowe, które uwzględnia nieliniową siłę sprężyny. Wprowadzenie niewielkiego zaburzenia wokół położenia równowagi umożliwia linearyzację równania różniczkowego. Oblicza się siłę równowagi w punkcie x_0 (położenie równowagi), a następnie różniczkuje się równanie zaburzone w celu uzyskania zlinearyzowanego równania różniczkowego.

Ostateczna zlinearyzowana reprezentacja przestrzeni stanu obejmuje wybór odpowiednich zmiennych stanu, które często obejmują położenie i prędkość masy. Następnie formułowane są równania stanu i równania wyjściowe. Przekształcenie tych równań w formę wektorowo-macierzową zapewnia kompleksowy liniowy model układu. Model ten można analizować przy użyciu różnych technik liniowego sterowania i szacowania, ułatwiając projektowanie i wdrażanie strategii sterowania dla układów, które są z natury nieliniowe.