21.9 : Approssimazione Lineare nel Dominio del Tempo

I sistemi non lineari, spesso richiedono approcci sofisticati per una modellazione e un'analisi accurate, con una rappresentazione dello spazio di stato, particolarmente efficace. Questo metodo, è particolarmente utile per i sistemi in cui variabili e parametri variano con il tempo o le condizioni operative, come in un semplice pendolo o in un sistema meccanico traslazionale con molle non lineari.

Per un pendolo semplice, con una massa distribuita uniformemente lungo la sua lunghezza e il centro di massa situato a metà della lunghezza del pendolo, il comportamento dinamico, può essere identificato sommando le coppie attorno al punto di perno. L'equazione differenziale risultante, incorpora gli effetti della forza gravitazionale e della coppia applicata. Per rappresentarlo in forma di spazio di stato, vengono scelte variabili di stato per descrivere la posizione e la velocità del sistema. Queste variabili di stato, portano alla formulazione di equazioni di stato, che descrivono l'evoluzione temporale del sistema.

La linearizzazione di queste equazioni di stato non lineari attorno a un punto di equilibrio, comporta la considerazione di piccole perturbazioni. Perturbando le variabili di stato attorno ai loro valori di equilibrio e applicando un'espansione in serie di Taylor, i termini non lineari, possono essere approssimati dalle loro controparti lineari. Questa approssimazione, produce equazioni di stato lineari che possono essere analizzate utilizzando la teoria dei sistemi lineari.

Nel caso di un sistema meccanico traslazionale con una molla non lineare, la dinamica del sistema, è governata in modo simile da un'equazione differenziale che tiene conto della forza della molla non lineare. L'introduzione di una piccola perturbazione attorno alla posizione di equilibrio, consente la linearizzazione dell'equazione differenziale. Viene calcolata la forza di equilibrio in x0 (la posizione di equilibrio), e viene differenziata l'equazione perturbata, per ottenere un'equazione differenziale linearizzata.

La rappresentazione finale linearizzata dello spazio di stato, comporta la selezione di variabili di stato appropriate, che spesso includono la posizione e la velocità della massa. Vengono quindi formulate equazioni di stato ed equazioni di output. La conversione di queste equazioni in forma di matrice vettoriale, fornisce un modello lineare completo del sistema. Questo modello, può essere analizzato utilizzando varie tecniche di controllo e stima lineare, facilitando la progettazione e l'implementazione di strategie di controllo, per sistemi che sono intrinsecamente non lineari.