21.9 : Lineare Approximation im Zeitbereich

Nichtlineare Systeme erfordern oft anspruchsvolle Ansätze für eine genaue Modellierung und Analyse, wobei die Zustandsraumdarstellung besonders effektiv ist. Diese Methode ist besonders nützlich für Systeme, bei denen Variablen und Parameter mit der Zeit oder den Betriebsbedingungen variieren, wie beispielsweise bei einem einfachen Pendel oder einem translatorischen mechanischen System mit nichtlinearen Federn.

Bei einem einfachen Pendel, dessen Masse gleichmäßig über die Länge verteilt ist und dessen Schwerpunkt sich auf der halben Pendellänge befindet, kann das dynamische Verhalten durch die Summierung der Drehmomente um den Drehpunkt erfasst werden. Die resultierende Differentialgleichung berücksichtigt die Auswirkungen der Schwerkraft und des angewandten Drehmoments. Um dies in Form eines Zustandsraums darzustellen, werden Zustandsvariablen gewählt, die die Position und Geschwindigkeit des Systems beschreiben. Diese Zustandsvariablen führen zur Formulierung von Zustandsgleichungen, die die zeitliche Entwicklung des Systems beschreiben.

Bei der Linearisierung dieser nichtlinearen Zustandsgleichungen um einen Gleichgewichtspunkt müssen kleine Störungen berücksichtigt werden. Durch Störung der Zustandsvariablen um ihre Gleichgewichtswerte und Anwendung einer Taylor-Reihenentwicklung können die nichtlinearen Terme durch ihre linearen Gegenstücke angenähert werden. Diese Annäherung ergibt lineare Zustandsgleichungen, die mithilfe der linearen Systemtheorie analysiert werden können.

Im Fall eines translatorischen mechanischen Systems mit einer nichtlinearen Feder wird die Dynamik des Systems in ähnlicher Weise durch eine Differentialgleichung bestimmt, die die nichtlineare Federkraft berücksichtigt. Durch Einbringen einer kleinen Störung um die Gleichgewichtsposition herum kann die Differentialgleichung linearisiert werden. Die Gleichgewichtskraft bei x_0 (der Gleichgewichtsposition) wird berechnet und die gestörte Gleichung wird differenziert, um eine linearisierte Differentialgleichung zu erhalten.

Die endgültige linearisierte Zustandsraumdarstellung umfasst die Auswahl geeigneter Zustandsvariablen, zu denen häufig die Position und Geschwindigkeit der Masse gehören. Anschließend werden Zustandsgleichungen und Ausgabegleichungen formuliert. Durch die Umwandlung dieser Gleichungen in Vektormatrixform erhält man ein umfassendes lineares Modell des Systems. Dieses Modell kann mithilfe verschiedener linearer Steuerungs- und Approximationstechniken analysiert werden, was die Entwicklung und Implementierung von Steuerungsstrategien für Systeme erleichtert, die von Natur aus nichtlinear sind.