17.7 : Propiedades de la DTFT I

En el procesamiento de señales, las transformadas de Fourier de tiempo discreto (DTFT) desempeñan un papel fundamental en el análisis de señales de tiempo discreto en el dominio de la frecuencia. Varias propiedades de las DTFT, como la linealidad, el desplazamiento temporal, el desplazamiento de frecuencia, la inversión temporal, la conjugación y el escalamiento temporal, ayudan a comprender y manipular estas señales para diferentes aplicaciones.

La propiedad de linealidad de las DTFT es fundamental. Si dos señales de tiempo discreto se multiplican por las constantes a y b respectivamente, y luego se combinan para formar una señal resultante, la DTFT de esta señal resultante es la suma ponderada de las DTFT de las señales individuales.

La propiedad de desplazamiento temporal de las DTFT indica que retrasar una señal en n_0 unidades en el dominio del tiempo introducen un desplazamiento de fase de e^(−jωn0) en su DTFT.

La propiedad de desplazamiento de frecuencia se produce cuando una señal discreta x[n] se multiplica por una exponencial compleja e^(jω0n). Esta multiplicación desplaza los componentes de frecuencia de la señal en ω_0.

La inversión temporal muestra otra propiedad fascinante. Si una señal x[n] se invierte en el tiempo, es decir, x[−n], su representación en el dominio de frecuencia se refleja alrededor del origen.

La propiedad de conjugación revela que tomar el conjugado complejo de una señal x[n], denotado como x∗[n], da como resultado la DTFT X∗(e^(−jω)), que refleja y conjuga los componentes de frecuencia.

Por último, la propiedad de escala temporal demuestra que si una señal de tiempo discreto se escala por un factor k, la señal retiene valores solo en intervalos que son múltiplos de k. La DTFT de la señal escalada x[kn] comprime los componentes de frecuencia por k. Por lo tanto, la DTFT de x[kn] es X(e^(jωk)), lo que muestra la compresión de los componentes de frecuencia por el factor k.

La comprensión de estas propiedades permite un procesamiento eficiente de las señales, lo que ayuda en diversas aplicaciones como el filtrado, la modulación y el análisis de señales.