17.7 : Eigenschaften von DTFT I

Bei der Signalverarbeitung spielen zeitdiskrete Fourier-Transformationen (DTFTs) eine entscheidende Rolle bei der Analyse zeitdiskreter Signale im Frequenzbereich. Verschiedene Eigenschaften der DTFTs wie Linearität, Zeitverschiebung, Frequenzverschiebung, Zeitumkehr, Konjugation und Zeitskalierung helfen dabei, diese Signale für verschiedene Anwendungen zu verstehen und zu handhaben.

Die Linearitätseigenschaft von DTFTs ist grundlegend. Wenn zwei zeitdiskrete Signale mit den Konstanten α bzw. b multipliziert und dann zu einem resultierenden Signal kombiniert werden, ist die DTFT dieses resultierenden Signals die gewichtete Summe der DTFTs der einzelnen Signale.

Die Zeitverschiebung von DTFTs zeigt, dass eine Verzögerung eines Signals um n_0 Einheiten im Zeitbereich eine Phasenverschiebung von e^−jωn0 in seiner DTFT einführt.

Die Eigenschaft der Frequenzverschiebung tritt auf, wenn ein zeitdiskretes Signal x[n] mit einer komplexen Exponentialfunktion e^jω0n multipliziert wird. Diese Multiplikation verschiebt die Frequenzkomponenten des Signals um ω_0.

Die Zeitumkehr weist eine weitere faszinierende Eigenschaft auf. Wenn ein Signal x[n] zeitlich umgekehrt wird, d. h. x[−n], wird seine Frequenzbereichsdarstellung um den Ursprung gespiegelt.

Die Konjugation zeigt, dass die Bildung der komplexen Konjugation eines Signals x[n], bezeichnet als x∗[n], zur DTFT X∗(e^−jω) führt, die die Frequenzkomponenten reflektiert und konjugiert.

Schließlich zeigt die Eigenschaft der Zeitskalierung, dass ein zeitdiskretes Signal, wenn es um einen Faktor k skaliert wird, nur in Intervallen Werte behält, die ein Vielfaches von k sind. Die DTFT des skalierten Signals x[kn] komprimiert die Frequenzkomponenten um k. Daher ist die DTFT von x[kn] X(e^jωk), was die Komprimierung der Frequenzkomponenten um den Faktor k zeigt.

Das Verständnis dieser Eigenschaften ermöglicht eine effiziente Signalverarbeitung und hilft bei verschiedenen Anwendungen wie Filterung, Modulation und Signalanalyse.