17.7 : Właściwości DTFT I

W przetwarzaniu sygnałów, dyskretne transformaty Fouriera (DTFT) odgrywają kluczową rolę w analizie sygnałów dyskretnych w dziedzinie częstotliwości. Różne właściwości DTFT, takie jak liniowość, przesunięcie czasowe, przesunięcie częstotliwości, odwrócenie czasu, sprzężenie i skalowanie czasu, pomagają zrozumieć i manipulować tymi sygnałami w różnych zastosowaniach.

Właściwość liniowości DTFT jest podstawowa. Jeśli dwa sygnały dyskretne zostaną pomnożone przez stałe a i b, a następnie połączone w celu utworzenia sygnału wynikowego, DTFT tego sygnału wynikowego jest ważoną sumą DTFT poszczególnych sygnałów.

Właściwość przesunięcia czasowego DTFT wskazuje, że opóźnienie sygnału o n_0 jednostek w dziedzinie czasu wprowadza przesunięcie fazowe e^-jwn0 w jego DTFT.

Właściwość przesunięcia częstotliwości występuje, gdy sygnał dyskretny w czasie x[n] jest mnożony przez zespoloną wykładniczą ejω0n. To mnożenie przesuwa składowe częstotliwości sygnału o ω_0.

Odwrócenie czasu pokazuje inną fascynującą właściwość. Jeśli sygnał x[n] jest odwrócony w czasie, tj. x[−n], jego reprezentacja w dziedzinie częstotliwości jest odbijana wokół początku.

Własność sprzężenia ujawnia, że wzięcie sprzężenia zespolonego sygnału x[n], oznaczonego jako x∗[n], skutkuje DTFT X∗(e^−jω), które odzwierciedla i sprzęża składowe częstotliwości.

Na koniec, własność skalowania czasu pokazuje, że jeśli sygnał w czasie dyskretnym jest skalowany przez współczynnik k, sygnał zachowuje wartości tylko w odstępach, które są wielokrotnościami k. DTFT skalowanego sygnału x[kn] kompresuje składowe częstotliwości o k. Dlatego DTFT x[kn] wynosi X(e^jwk), pokazując kompresję składowych częstotliwości przez współczynnik k.

Zrozumienie tych właściwości pozwala na wydajne przetwarzanie sygnałów, co pomaga w różnych zastosowaniach, takich jak filtrowanie, modulacja i analiza sygnałów.